题目内容
11．2011年3月，日本发生了9.0级大地震，在这次抗震救灾行动中，为了及时了解灾情，利用卫星对灾区进行了全天候的监测，若参与监测的甲、乙两颗人造地球卫星在同一轨道平面上的不同高度处同向运动（可视为匀速圆运动），甲距地面的高度为地球半径的0.5倍，乙距地面的高度为地球半径的5倍，两卫星在某一时刻正好位于地球表面某点的正上空．求：（1）两卫星运行的线速度之比？
（2）乙卫星至少要经过多少周期，两卫星间的距离才会达到最大？
分析 根据万有引力提供向心力得出线速度与轨道半径的关系，结合轨道半径之比求出线速度之比．
根据周期与轨道半径的关系求出周期之比，结合两卫星转过的角度关系求出两卫星距离最大时经过的时间．
解答 解：（1）卫星的向心力由万有引力提供，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
甲的轨道半径为1.5R，乙的轨道半径为6R，可知甲乙的轨道半径之比为1：4，
则线速度之比为2：1．
（2）根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，
因为轨道半径之比为1：4，则周期之比T甲：T乙=1：8，
又因为卫星间的距离第一次最大时，它们转过的角度差π：$\frac{2π}{{T}_{甲}}t-\frac{2π}{{T}_{乙}}t=π$，
解得t=$\frac{{T}_{乙}}{14}$．
答：（1）两卫星运行的线速度之比为2：1．
（2）乙卫星至少要经过$\frac{{T}_{乙}}{14}$周期，两卫星间的距离才会达到最大．
点评 该题考查万有引力定律的一般应用，其中卫星间的距离第一次最大时，它们转过的角度差π是解决问题的关键．属于中档题目．
练习册系列答案
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