Question

7．一物体沿x轴在x₁=-A和x₂=A的区间内做简谐运动．则该物体在四分之一周期内通过的路程L的所有可能值的范围是（2-$\sqrt{2}$）A≤L≤$\sqrt{2}$A，某人对此物体作随机观察，则该物体出现的微小间隔0≤x≤a中的概率是$\frac{1}{π}•\frac{a}{A}$．

Answer 1

分析 作简谐运动的物体，在$\frac{1}{4}$周期内通过的路程可以结合位移时间关系图象进行分析，也可以运用解析法求出相差四分之一周期的两个时刻间的路程的一般表达式进行分析讨论．

解答 解：t时刻位移为：x=Asinωt
t+$\frac{T}{4}$时刻的位移为：x′=Asin（ωt+90°）
由于ωT=2π，故有：
若$0≤t≤\frac{T}{4}$或$\frac{T}{2}≤t≤\frac{3T}{4}$，则从t时刻到t+$\frac{T}{4}$时刻的路程为：S=2A-|x+x′|=2A-|Asinωt+Asin（ωt+90°）|=2A-|$\sqrt{2}Asin（ωt+45°）$|，故此时最小为（2A-$\sqrt{2}A$），最大为A；
若$\frac{T}{4}≤t≤\frac{T}{2}$或$\frac{3T}{4}≤t≤T$，则从t时刻到t+$\frac{T}{4}$时刻的路程为：S=|x-x′|=Asinωt-Asin（ωt+90°）|=|$\sqrt{2}Asin（ωt-45°）$|，故此时最大为$\sqrt{2}A$，最小为A；
所以该物体在四分之一周期内通过的路程L的所有可能值的范围是（2-$\sqrt{2}$）A≤L≤$\sqrt{2}$A
若选择半个周期π，则物体会均匀出现在[A，-A]之间，所以该物体出现的微小间隔0≤x≤a中的概率是$\frac{1}{π}•\frac{a}{A}$
故答案为：（2-$\sqrt{2}$）A≤L≤$\sqrt{2}$A，$\frac{1}{π}•\frac{a}{A}$

点评 本题关键得出t时刻和t+$\frac{T}{4}$时刻的位移，然后给出路程的一般表达式进行分析讨论，由于图象较形象、直观，故也可以从位移时间图象角度进行讨论．