Question

19．如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OA和轻绳OB能承受的最大拉力均为100$\sqrt{3}$N，另一根与甲相连的轻绳能承受足够大拉力．轻绳B水平且B端与放置在水平面上的质量为m₂=10kg的物体乙相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ=30°，物体甲、乙均处于静止状态．（g取10m/s²，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）求：
（1）若仅考虑绳的承受能力，物体甲的质量m₁最大不能超过多少？
（2）若质量为m₂的物体乙与水平面之间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则欲使物体乙在水平面上不滑动，物体甲的质量m₁最大不能超过多少？

Answer 1

分析 （1）对点O受力分析，受三个拉力，其中向下的拉力等于物体甲的重力，根据平衡条件列式分析；
（2）分析物体乙，受重力、支持力、拉力和摩擦力，考虑恰好不滑动的临界情况，得到OB绳子的最大拉力，求解出对应的物体甲的最大质量．

解答 解：（1）对点O分析，受三个拉力，根据平衡条件，三个拉力可以构成首尾相连的矢量三角形，如图所示：

故F_B=Gtanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}{m}_{1}g$，F_A=$\frac{G}{cosθ}=\frac{2}{3}\sqrt{3}{m}_{1}g$；
由于F_A＞F_B，故OA绳子先达到最大拉力，故物体甲的质量m₁最大为：m₁=$\frac{{100\sqrt{3}N}}{{\frac{2}{3}\sqrt{3}g}}=\frac{{100\sqrt{3}}}{{\frac{2}{3}\sqrt{3}×10}}=15kg$；
（2）对物体乙受力分析，受拉力、重力、支持力和摩擦力，考虑恰好不滑动，根据平衡条件，有：
μm_Bg=F_B，
结合第一问结论，有：F_B=$\frac{\sqrt{3}}{3}{m}_{1}g$，
故甲的最大质量为：${m_1}=\frac{{μ{m_B}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}×10}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}=10kg$；
答：（1）若仅考虑绳的承受能力，物体甲的质量m₁最大不能超过15kg；
（2）若质量为m₂的物体乙与水平面之间的动摩擦因数为μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则欲使物体乙在水平面上不滑动，物体甲的质量m₁最大不能超过10kg．

点评 本题涉及共点力平衡中极值问题，关键是找出临界条件：当物体刚要滑动时，物体间的静摩擦力达到最大．