Question

15．在某星球表面轻绳约束下的质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最低点与最高点所受轻绳的拉力之差为△F，假设星球是均匀球体，其半径为R，已知万有引力常量为G，不计一切阻力．
（1）求星球表面重力加速度      
（2）求该星球的密度．

Answer 1

分析 根据向心力公式和机械能守恒定律得出△F的表达式，求出重力加速度，根据重力等于万有引力求出星球质量，再根据密度公式求出密度．

解答 解：（1）设最高点和最低点速度大小分别为${v}_{1}^{\;}、{v}_{2}^{\;}$
在最高点根据向心力公式有：$mg+{F}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$…①
在最低点根据向心力公式有：${F}_{2}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{2}^{2}}{L}$…②
最高点到最低点过程中只有重力做功，机械能守恒，有：$mg•（2L）=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}③$
$△F={F}_{2}^{\;}-{F}_{1}^{\;}$…④
联立①～④得：△F=6mg
所以$g=\frac{△F}{6m}$
（2）在星球表面重力等于万有引力，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$…⑤
得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{{R}_{\;}^{2}△F}{6mG}$
$ρ=\frac{M}{V}=\frac{{R}_{\;}^{2}△F}{6mG}×\frac{3}{4π{R}_{\;}^{3}}$=$\frac{{R}_{\;}^{2}△F}{8πmRG}$
答：（1）求星球表面重力加速度$\frac{△F}{6m}$      
（2）求该星球的密度$\frac{{R}_{\;}^{2}△F}{8πmRG}$．

点评 本题是万有引力定律与力学中的向心力和机械能守恒定律的综合题，对竖直平面内的圆周运动的绳模型问题，关键是明确最高点和最低点的向心力来源，根据牛顿第二定律列式求解，同时要结合动能定理列式分析，同时记住万有引力的几个重要结论．