Question

8．如图：正方形光滑水平台面WXYZ边长l=1.8m，距离地面h=0.8m．一质量m=1kg的小球从W静止出发，在CD区域之间受到沿着WZ方向恒力F₁的作用，F₁=125N，CD区域间距为0.1m．当小球到达D点时撤去F₁，立即对小球施加变力F₂，使得小球开始做半径R=1m的匀速圆周运动，最终小球从XY边离开光滑水平台做平抛运动．当小球离开台面瞬间，静止于X正下方水平地面上A点的滑块获得一水平初速度，在小球落地时恰好与之相遇，滑块可视为质点，滑块与地面之间的动摩擦因素μ=0.2，取g=10m/s²，sin37°=0.6
（1）求F₂的大小；
（2）求小球在光滑水平台面运动的总时间；
（3）求滑块运动的初速度．

Answer 1

分析 （1）小球在CD间做匀加速运动，由动能定理求加速获得的速度．小球做匀速圆周运动时，由F₂提供向心力，根据牛顿第二定律求F₂．
（2）分两段求时间：匀加速直线运动的过程，由位移等于平均速度乘以时间，求运动时间．对于匀速圆周运动，由几何关系求出圆心角，再由圆周运动的公式求时间．从而得到总时间．
（3）小球离开平台后做平抛运动，由高度求出平抛运动的时间．并求得水平位移．根据相遇的条件和几何关系求出A的位移，从而求其初速度．

解答 解：（1）小球在CD段，由动能定理得：
F₁d=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：v=$\sqrt{\frac{2{F}_{1}d}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×125×0.1}{1}}$=5m/s
小球做匀速圆周运动时，有：F₂=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=1×$\frac{{5}^{2}}{1}$=25N
（2）在CD段，运动时间设为t₁，则有：d=$\frac{v}{2}{t}_{1}$
解得：t₁=$\frac{1}{25}$s
小球圆周运动阶段，通过几何关系可知，转过的角度为143°，角速度为：ω=$\frac{v}{R}$=5 rad/s
用时：t₂=$\frac{\frac{143}{180}×π}{ω}$=$\frac{143}{900}$π s
故有：t_总=t₁+t₂=（$\frac{1}{25}$+$\frac{143}{900}$π ）s
（2）小球离开平台时与x、y边所成夹角为37°，平抛过程有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，t=0.4s
水平位移为：x=vt=2m
根据余弦定理可知，A的位移为：x_A=$\sqrt{{x}^{2}+（d+Rsin37°）^{2}-2x•（d+Rsin37°）cos37°}$=1.5m
又 x_A=v_At-$\frac{1}{2}μg{t}^{2}$
解得：v_A=4.15m/s
根据几何关系可知，A物体的速度方向与Y、X的延长线成53°
答：（1）F₂的大小是25N；
（2）小球在光滑水平台面运动的总时间是（$\frac{1}{25}$+$\frac{143}{900}$π ）s；
（3）滑块运动的初速度是4.15m/s，方向与Y、X的延长线成53°．

点评 该题考查了数学知识在物理中的应用，尤其是三角函数的应用．三角函数的应用在近几年高考试题中经常出现，尽管它只是起到运算作用，但是如果忘记了三角函数公式是无法进行下去的，自然得不到正确的结果．由于是物理试题，三角函数过程在解答过程可以不体现、只在草稿纸上画．此方面的问题具体要做到以下两点：
（1）能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论．
（2）必要时能运用几何图形、函数图象进行表达、分析．