Question

20．如图所示，两极板M、N相距为d，板长为5d，在两板间加有电场强度为E的匀强电场，方向竖直向上．现有一大群电荷量为e，质量为m的电子，沿平行于极板的方向从各个位置以相同的速度v射入两板之间，则：
（1）为了使所有电子都沿直线飞出极板，应在垂直于直面内加一个什么方向的磁场？其磁感应强度应多大？
（2）现撤去两板间的匀强电场，在两板间加上一个垂直于纸面向里的匀强磁场．如果为了使所有电子都不从板间穿出，那么，磁感应强度B的范围是多少？

Answer 1

分析 （1）这个是速度选择器的原理，电场力与洛仑兹力平衡，电子做匀速直线运动，根据左手定则判断磁感应强度的方向；
（2）电子向下偏转，则位于上极板的电子，打在下板的右边界时，轨道半径最大，磁场有最小值；打在下板的左边界，轨道半径最小，磁场有最大值．

解答 解：（1）电子受电场力向下，为了使所有电子都沿直线飞出极板，则洛仑兹力向上，与电场力平衡，根据左手定则，磁场方向垂直向外；根据平衡条件，有：
eE=qvB
解得：B=$\frac{E}{v}$
（2）撤去电场后，由左手定则可知电子向下偏转，则位于下极板的电子，打在N板的右边界时，轨道半径最大，磁场有最小值；此时轨道半径为R，由数学几何关系可知：
R=$\sqrt{（5d）^{2}+（R-d）^{2}}$
解得：R=13d
故磁场最小值为B₁：$ev{B_1}=m\frac{v_2}{R}$
解得：B₁=$\frac{mv}{13ed}$
打在N板的左边界，轨道半径最小，磁场由有最大值．此时轨道半径为0.5d，设磁场最大值为B，有：
evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：B=$\frac{2mv}{ed}$
故磁感应强度B的取值范围是：$\frac{mv}{13ed}$≤B≤$\frac{2mv}{ed}$
答：（1）为了使所有电子都沿直线飞出极板，应该加垂直向外磁场，其磁感应强度应为$\frac{E}{v}$；
（2）现撤去两板间的匀强电场，在两板间加上一个垂直于纸面向里的匀强磁场；如果为了使所有电子都不从板间穿出，那么磁感应强度B的范围是：$\frac{mv}{13ed}$≤B≤$\frac{2mv}{ed}$．

点评 本题第二问重点是对电子轨道的判定，即什么时候出现的是最小轨道，什么情况是最大轨道，对于这种求范围的问题，就是要抓住题目中给的限定条件，来找相关的物理量．