Question

7．某兴趣小组举行遥控赛车比赛，比赛路径如图所示，可视为质点的赛车从起点A出发，沿水平直线轨道运动L=10m后，由B点进入半径为R=0.4m的光滑竖直半圆轨道，并通过轨道的最高点C做平抛运动，落地后才算完成比赛．B是半圆轨道的最低点，水平直线轨道和半圆轨道相切于B点，已知赛车质量m=0.5kg，通电后电动机以额定功率P=3W工作，赛车在水平轨道上受到的阻力恒为f=0.4N，g取10m/s²．
（1）要使赛车能通过C点完成比赛，经过B点的最小速度v_m为多少？
（2）要使赛车完成比赛，电动机工作最短的时间t_m为多少？
（3）若赛车过B点速度v_B=8.0m/s，R为多少时赛车能完成比赛且落地点离B点的距离最大．

Answer 1

分析 （1）小车做圆周运动，在最高点重力提供向心力时速度最小，由牛顿第二定律可以求出最小速度，从B到C的过程中，根据动能定理列式即可求解．
（2）从A到C应用动能定理可以求出电动机的工作时间．
（3）由B到C由机械能守恒定律或动能定理求出到C的速度，离开C后小车做平抛运动，由平抛运动知识求出小车水平位移的表达式，然后求出最大水平位移．

解答 解：（1）赛车以最小速度通过最高点C，其经过B点的速度最小，
在最高点C由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：v_C=$\sqrt{gR}=\sqrt{0.4×10}$=2m/s，
从B到C的过程中，根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}=-mg•2R$
解得：${v}_{m}=2\sqrt{5}m/s$
（2）设电动机工作的最短时间为t，赛车从A到C过程，由动能定理得：
$Pt-fL-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0$
解得：t=3s
（3）设轨道半径为R，从B到C过程根据动能定理得：
$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=-mg•2R$
解得：
${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{B}}^{2}-4Rg}$，
赛车离开C点后做平抛运动，设水平位移为x，
在水平方向：x=v_Ct，在竖直方向：2R=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：x=$\sqrt{{{v}_{B}}^{2}-4Rg}•\sqrt{\frac{4R}{g}}$=$\sqrt{（\frac{{{v}_{B}}^{2}}{g}-4R）4R}$，
当$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{g}-4R=4R$时，即R=0.80m时，最大水平位移为x_m=3.2m；
答：（1）要使赛车能通过C点完成比赛，经过B点的最小速度v_m为$2\sqrt{5}m/s$；
（2）要使赛车完成比赛，电动机工作的最短时间为3s．
（3）若赛车过B点速度v_B=8.0m/s，R为0.8m时赛车能完成比赛，且落地点离B点的最大距离为3.2m．

点评 分析清楚小车的运动过程，应用牛顿第二定律、动能定理、平抛运动知识即可正确解题．