Question

11．一半径为R、密度均匀的自行旋转的行星，其赤道处的重力加速度为极地处重力加速度的n倍（n＜1）．求该行星的同步卫星距离地面的高度．

Answer 1

分析 设行星的质量为M，自转角速度为ω，其极地处的重力加速度为g，对质量为m的物体处于极地以及赤道时，根据万有引力定律列式，设同步卫星的质量为m₁，距离地面的高度为h，根据万有引力提供向心力列式，联立方程求解即可．

解答 解：设行星的质量为M，自转角速度为ω，其极地处的重力加速度为g，对质量为m的物体处于极地以及赤道时，根据万有引力定律得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}-mmg=m{ω}^{2}R$，
设同步卫星的质量为m₁，距离地面的高度为h，根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{M{m}_{1}}{{（R+h）}^{2}}={m}_{1}{ω}^{2}（R+h）$，
由上述三式解得h=$（\root{3}{\frac{1}{1-n}}-1）R$
答：该行星的同步卫星距离地面的高度为$（\root{3}{\frac{1}{1-n}}-1）R$．

点评 本题主要考查了万有引力提供向心力公式的直接应用，注意在极地处，万有引力等于重力，难度适中．