Question

1．长为L的总质量为m的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的$\frac{1}{4}$垂在桌边，如图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，取桌面为零势能面．
（1）开始时两部分链条重力势能之和为多少？
（2）刚离开桌面时，整个链条重力势能为多少？
（3）链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？

Answer 1

分析 （1）根据重力势能的计算公式E_p=mgh求解．
（2）根据整个链条的重心到桌面的高度，求整个链条重力势能．
（3）由于桌面光滑，所以整个链条下滑的过程机械能守恒，由机械能守恒定律求链条滑至刚刚离开桌边时的速度．

解答 解：（1）以桌面为零势能面，开始时两部分链条重力势能之和为：E_P1=$\frac{3}{4}$mg•0+$\frac{1}{4}$mg（-$\frac{1}{8}$L）=-$\frac{1}{32}$mgL；
（2）刚离开桌面时，整个链条重力势能为：E_P2=mg•（-$\frac{1}{2}$L）=-$\frac{1}{2}$mgL
（3）设链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为v．根据机械能守恒定律得：
   E_P1=E_P2+$\frac{1}{2}$mv²；
解得：v=$\frac{1}{4}$$\sqrt{15gL}$
答：
（1）开始时两部分链条重力势能之和为-$\frac{1}{32}$mgL；
（2）刚离开桌面时，整个链条重力势能为-$\frac{1}{2}$mgL；
（3）链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为$\frac{1}{4}$$\sqrt{15gL}$．

点评 本题解答时要注意：由于开始时链条不能看成质点，所以要研究重心到桌面的高度来确定重力势能．此题也可以选链条滑至刚刚离开桌边时链条的中心为零势能面，结果是一样的，要注意重力势能的正负；抓住机械能守恒时，链条动能的变化取决于重力势能的变化量．