Question

12．如图甲所示，在竖直边界MN的左侧存在与水平方向成θ=60°斜向右上方的匀强电场，其电场强度大小E₁=$\sqrt{3}$N/C，在MN的右侧有竖直向上的匀强电场，其电场强度大小为E₂=1.5N/C，同时，在MN的右侧还有水平向右的匀强电场E₃和垂直纸面向里的匀强磁场B（图甲中均未画出），E₁和B随时间变化的情况如图乙所示．现有一带正电的微粒，带电荷量q=1×10^-5C，从左侧电场中距MN边界x₁=$\sqrt{3}$m的A点无初速释放后，微粒水平向右进入MN右侧场区，设此时刻t=0，取g=10m/s²．求：
（1）带电微粒的质量m；
（2）带电微粒在MN右侧场区中运动了1.5s时的速度v（取2$\sqrt{5}$=4.5）；
（3）带电微粒从A点运动到MN右侧场区中计时为1.5s的过程中，各电场对带电微粒做的总功W．（取3π=10）

Answer 1

分析 （1）由于带电微粒水平进入MN右侧区域，则在竖直方向是平衡状态，所以由平衡条件就能求出带电微粒的质量．
（2）由题设条件很容易找到qE₂=mg，即带电微粒进入MN右侧后重力与恒定的竖直向上电场力抵消，那么只在变化的电场E₃和磁场B运动．可以分时间段进行分析：在0-1s内向右加速，1-1.5s做圆周运动，计算出圆周运动的周期与0.5s进行对比，就知道速度的方向．
（3）整个过程利用动能定理就能求得各电场对带电粒子做的功．

解答 解：（1）MN在左侧匀强电场的电场强度为E₁，方向与与水平方向夹角为，带电筒微粒受力如图所示，
沿竖直方向有：qE₁sinθ=mg
代入数据解得：m=1.5×10^-6kg
（2）在MN左侧，对带电微粒沿水平方向有：qE₁cosθ=ma₁  
代入数据解得：${a}_{1}=\frac{10\sqrt{3}}{3}m/{s}^{2}$
对水平方向的匀加速直线运动有：${{v}_{0}}^{2}=2{a}_{1}{x}_{1}$
解得刚到MN时，v₀=4.5m/s
带电微粒在MN右侧场区始终满足：qE₂=mg
在0-1s时间内，带电微粒在E₃电场中有：${a}_{2}=\frac{q{E}_{3}}{m}=\frac{1.0×1{0}^{-5}×0.075}{1.5×1{0}^{-6}}m/{s}^{2}$=0.5m/s² 
带电微粒在1s时的速度大小为：v=v₀+at=（4.5+0.5×1）m/s=5m/s 
在1s-1.5s时间内，带电微粒在磁场B中做匀速圆周运动，周期为：
$T=\frac{2πm}{qB}=\frac{2π×1.5×1{0}^{-4}}{1×1{0}^{-5}×0.3}s=1s$
在-1s--1.5s时间内，带电微粒在磁场B中正好运动了半个周期．所以带电微粒在MN右侧场区运动了1.5s时的速度大小为5m/s，方向水平向左．
（3）带电微粒在磁场B中做圆周运动的半径为
   $r=\frac{mv}{qB}=\frac{1.5×1{0}^{-6}×5}{1×1{0}^{-5}×0.3π}m=\frac{7.5}{3π}m=0.75m$
   $W-mg•2r=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
  解得：W=4.1×10^-5J．
答：（1）带电微粒的质量m为1.5×10^-6kg．
（2）带电微粒在MN右侧场区中运动了1.5s时的速度v为5m/s，方向水平向左．
（3）带电微粒从A点运动到MN右侧场区中计时为1.5s的过程中，各电场对带电微粒做的总功W为4.1×10^-5J．

点评 本题的难点在于，题目很含蓄的蕴藏着关键的点：在电场E₂中重力与电场力抵消，所以带电粒子在交变的电场${E}_{3}\$和交变磁场B中进行交替做匀加速和匀速圆周运动，象这种题目只能算一步走一步，直到得出最后结果．虽然题目并没有要求计算，但我们知道粒子是重复0-1.5s的运动，但轨迹逐步上移．