Question

7．2016年3月1日，嫦娥一号卫星系统总指挥兼总设计师叶培建院士表示，中国计划2018年前后发射“嫦娥四号”月球探测器，在月球背面软着陆，假设“嫦娥四号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H，飞行周期为T，月球的半径为R，引力常量为G．求：
（1）月球的密度；
（2）月球的表面重力加速度．

Answer 1

分析 （1）先根据万有引力提供向心力求出月球的质量，再根据密度公式求月球的密度
（2）根据重力等于万有引力求出月球表面的重力加速度

解答 解：（1）飞船绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
月球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$=$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$
（2）根据月球表面物体重力等于万有引力
$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$
答：（1）月球的密度$\frac{3π（R+h）_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}$；
（2）月球的表面重力加速度$\frac{4{π}_{\;}^{2}（R+h）_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}$．

点评 本题关键是要知道飞船绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供，并且要能够根据题目的要求选择恰当的向心力的表达式，同时知道在月球表面物体重力等于万有引力．