Question

15．北京获得2022年冬季奥林匹克运动会举办权，滑雪也渐渐成为人们喜爱的时尚运动．如图所示为某室内滑雪场的滑道，AB为倾角θ₁=37°的斜坡滑道，BC为L=4m的水平滑道，CD为半径R=10m、圆心角α=37°的圆弧滑道，DE为倾角θ₂=45°的斜坡滑道，滑道在B点和C点平滑连接．质量m=60kg的滑雪者从h=9m处的P点由静止出发，到达圆弧滑道最高点时恰好对滑道没有压力而腾空，在空中飞行一段时间后落在DE滑道上的Q点．已知滑雪者与滑道间的动摩擦因数μ=0.1，不计空气阻力，滑雪者可视作成点，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求滑雪者落点Q与最高点D之间的距离：
（2）求滑雪者在圆弧滑道CD上损失的机城能：
（3）若滑雪者从更高处出发，则在圆弧滑道CD上损失机械能是增大还是减小？说明理由．

Answer 1

分析 （1）在最高点D时恰好对滑道没有压力，由重力提供向心力和平抛运动规律可求滑雪者落点Q与最高点D之间的距离；
（2）利用动能定理结合功的计算可求滑雪者在圆弧滑道CD上损失的机城能；
（3）如果滑雪者从更高处出发，滑雪者在到达D前已经脱离轨道腾空飞起，滑雪者在圆弧轨道上对轨道的压力更小，摩擦力小，所以损失的机械能减小．

解答 解：（1）滑雪者在最高点D时恰好对滑道没有压力，设此时的速度为v，
由牛顿第二定律可得：mg=$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入数据解得：v=10m/s
设滑雪者落点Q与最高点D之间的距离为x，空中运动时间为t，由平抛运动可知：
在水平方向上：xcosθ₂=vt
在竖直方向上：xsinθ₂=$\frac{1}{2}$gt²
代入数据解得：x=20$\sqrt{2}$m=28.3 m
（2）设滑雪者在AB滑道克服摩擦力做功W₁，在BC滑道克服摩擦力做功W₂，则：
W₁=μmgcosθ₁$\frac{h}{sin{θ}_{1}}$=720J
W₂=μmgL=240J
设滑雪者在圆弧滑道CD损失的机械能为W₃，从P到Q过程，
由动能定理得：mg[h-R（1-cosα）]-W₁-W₂-W₃=$\frac{1}{2}$mv²-0
代入数据解得：W₃=240J
（3）若滑雪者从更高处出发，则在圆弧轨道CD上损失的机械能是减小．
理由：①滑雪者在到达D前已经脱离轨道腾空飞起；②滑雪者在圆弧轨道上对轨道的压力更小．
答：（1）求滑雪者落点Q与最高点D之间的距离28.3 m；
（2）求滑雪者在圆弧滑道CD上损失的机城能是240J；
（3）在圆弧滑道CD上损失的机械能减小．理由是：①滑雪者在到达D前已经脱离轨道腾空飞起；②滑雪者在圆弧轨道上对轨道的压力更小．

点评 解答此题的关键是分析清楚物体的运动过程，再应用动能定理、牛顿第二定律、平抛运动规律即可求速度、压力、水平位移等．用动能定理解题时一定要注意运过程中有那些力做功，做正功还是做负功．