题目内容
2．如图甲所示，在xOy平面的第三象限内有一个粒子发射装置S，它可向第一象限90°范围内的不同方向发射大量速率均为v0=1.0×103m/s，荷质比$\frac{q}{m}$=1×105C/kg的带负电粒子．现在x轴上方的某区域内加上一个匀强磁场，能使所有粒子能在0≤y≤0.1m的范围内沿x轴正向运动．粒子穿过磁场区域后进入一个由平行板电容器NN所产生的正方形电场区域，电容器两极板上的电压随时间的变化图象如图乙所示．已知电容器N板的两端位于x1=0.15m，x2=0.25m处，在x=0.3m处有一个平行于y轴的光屏L，粒子打到光屏后能够发光．若所有粒子的运动轨迹均在纸面内，且不计粒子的重力及它们间的相互作用，不考虑粒子间的碰撞及粒子落到极板上对电压的影响．求：
（1）偏转磁场的磁感应强度；
（2）偏转磁场的最小面积；
（3）电容器两极板间有电压和无电压时屏上发光长度的比值．
分析 （1）根据粒子在磁场中匀速圆周运动的某一临界轨迹，沿+y方向入射，根据轨迹求出半径，再结合洛伦兹力提供向心力求出半径公式，联立求出磁感应强度．
（2）求出偏转磁场的上下边界，包围的面积即为最小面积．
（3）无电压时，粒子在板间匀速直线运动，发光亮度就是板宽度，有电压时根据类平抛运动的规律求出在屏上的亮度．
解答 
解：（1）因为能使所有粒子在0≤y≤0.1范围内沿x轴正向运动，所以粒子沿y轴正方向射入时，恰好能在（0.1，0.1）坐标，沿x轴正向运动
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$①
由几何关系，运动半径R=0.1m
联立①②得：$B=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qR}=\frac{1×1{0}_{\;}^{3}}{1×1{0}_{\;}^{5}×0.1}=0.1T$
（2）由题意可知，电子是以一定速度从原点O沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的（0.1，0）点，半径为R=0.1m的圆．该电子沿圆弧OCP运动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，如图1所示
当电子速度方向与x轴正向成角度θ时，作出轨迹图2，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x轴方向，设边界任一点的坐标为S（x，y），由图2可知，
x=Rsinθ，y=R-Rcosθ，消去参数θ得，
${x}_{\;}^{2}+（y-R）_{\;}^{2}={R}_{\;}^{2}$
可以看出随着θ的变化，S的轨迹是圆心为（0，R），半径为R的圆，即是磁场区域的下边界．
上下边界就构成一个叶片形磁场边界，如图3所示，则符合条件的磁场最小面积为扇形面积减去等要直角三角形面积的2倍．
$S=2（\frac{π{R}_{\;}^{2}}{4}-\frac{{R}_{\;}^{2}}{2}）=\frac{π-2}{2}{R}_{\;}^{2}$
本题中R=0.1m，代入上式得$S=\frac{π-2}{2}0．{1}_{\;}^{2}=5.7×1{0}_{\;}^{-3}{m}_{\;}^{2}$
（3）当电容器两极板间无电压时，屏上发光长度为${l}_{1}^{\;}=0.1m$
当电容器两极板间有电压时，带负电粒子在两板间做类平抛运动如图
根据牛顿第二定律qE=ma，且$E=\frac{U}{d}$
得$a=\frac{qU}{md}$=$1×1{0}_{\;}^{7}m/{s}_{\;}^{2}$
水平方向：$l={v}_{0}^{\;}t$
解得$t=\frac{l}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{0.1}{1×1{0}_{\;}^{3}}=1×1{0}_{\;}^{-4}s$
竖直方向：$y=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}=\frac{1}{2}×1×1{0}_{\;}^{7}（1×1{0}_{\;}^{-4}）_{\;}^{2}=0.05m=5cm$
电场方向向下，带负电粒子向上偏转，沿中心线射入的粒子恰好沿边界射出，在中心线上方进入平行板电容器的粒子打在极板上，沿中心线射入的粒子打在屏上的位置距中心线距离y'，根据几何关系$\frac{y}{y′}=\frac{0.05}{0.1}$，y'=10cm
沿下极板入射的粒子刚好打在屏上和上板同一水平线上，所以有电压时屏上发光长度为${l}_{2}^{\;}=5cm$
所以有电压时和无电压时屏上发光长度的比值$\frac{{l}_{2}^{\;}}{{l}_{1}^{\;}}=\frac{5cm}{10cm}=\frac{1}{2}$
答：（1）偏转磁场的磁感应强度为0.1T；
（2）偏转磁场的最小面积$5.7×1{0}_{\;}^{-3}{m}_{\;}^{2}$；
（3）电容器两极板间有电压和无电压时屏上发光长度的比值为$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查带电粒子在电磁场中运动的问题，求磁场最小面积是本题的一个难点，带电粒子在屏上的亮度就是带电粒子在电场中的偏转问题，综合性强．
步步高达标卷系列答案
质量不同的P、Q两球均处于静止状态（如图），敲击弹性金属片，使P球沿水平方向抛出，Q球同时被松开而自由下落．则下列说法中正确的是（ ）| A． | P球先落地 | B． | 两球落地时的动能可能相等 | ||
| C． | Q球先落地 | D． | 两球下落过程中重力势能变化相等 |
物体A、B从同一地点沿同一直线运动的 v-t图象如图所示．以下判断中正确的是（ ）| A． | 物体A和B的运动方向相反 | |
| B． | 物体B的加速度大小为-$\frac{1}{3}$m/s2 | |
| C． | t=3s时，物体A追上物体B | |
| D． | t=3s时，物体A与物体B之间的距离为A追上B前的最大间距 |
两根长直导线平行固定在的M、N两点，如图所示，图中的O1为MN的中点，O2为MN延长线上的一点，且N刚好是O1O2的中点，现在两导线中通有方向相反、大小相等的电流，经测量可知O1、O2两点的磁感应强度大小分别为B1、B2．已知通电长直导线周围某点的磁感应强度B与导线中的电流I成正比、与该点到导线的距离r成反比，即磁感应强度B=k$\frac{I}{r}$，突然导线N中的电流减为O，则此时（ ）| A． | O1、O2两点的磁感应强度大小分别为$\frac{1}{2}$B1、$\frac{1}{2}$B2-B2 | |
| B． | O1、O2两点的磁感应强度大小分别为$\frac{1}{2}$B1、$\frac{1}{2}$B1-B2 | |
| C． | O1、O2两点的磁感应强度大小分别为B1-B2、$\frac{1}{2}$B1-B2 | |
| D． | O1、O2两点的磁感应强度大小分别为B1-B2、$\frac{1}{2}$B2-B1 |
| A． | 布朗运动是液体分子的运动 | |
| B． | 温度越高，布朗运动越激烈 | |
| C． | 固体颗粒越小，布朗运动越激烈 | |
| D． | 液体对流是引起布朗运动的原因之一 |
如图为某物体做简谐运动的图象．
位于坐标原点的波源振动，产生一列沿x轴正方向传播的间谐横波，t=0时刻第一次形成的波形如图所示，t=0.2s时质点C开始振动，则（ ）| A． | 产生这列波的波源的起振方向是向下的 | |
| B． | 这列波的波速为10m/s | |
| C． | 到t=0时刻质点B已经振动了0.3s | |
| D． | t=0.45s时，质点C的速度方向向上 | |
| E． | t=0.4s时，波向前传播了4m，质点A将到达质点C的位置 |
| A． | 甲图为放射源放出的三种射线在磁场中运动的轨迹，射线甲为α射线 | |
| B． | 乙图中，用紫外光灯照射与验电器相连的锌板，发现原来闭合的验电器指针张开，此时锌板和验电器均带正电 | |
| C． | 丙图为核反应堆示意图，它是利用了铀核聚变反应所释放的能量 | |
| D． | 丁图为玻尔理论指出氢原子能级是分立的，所以原子发射光子的频率也是不连续的 |