题目内容

19．科学家预测银河系中所有行星的数量大概为2万亿-3万亿之间，若宇宙中有一颗未知行星，其半径和地球半径相同，但质量却是地球质量的两倍，如地球上的卫星a和未知行星上的卫星b距离地面的距离相同，则（　　）
A．卫星a和卫星b的线速度之比为$\frac{1}{\sqrt{2}}$
B．卫星a和卫星b的线速度之比为$\frac{1}{\sqrt{8}}$
C．卫星a和卫星b的周期之比为$\sqrt{2}$：1
D．卫星a和卫星b的向心加速度之比为1：2

分析 根据万有引力等于向心力，分别求出两卫星线速度的表达式，再求解线速度之比．根据周期公式求周期之比．由向心加速度公式结合求向心加速度之比．

解答 解：AB、根据万有引力等于向心力，得：
对卫星a：G$\frac{M{m}_{a}}{{r}^{2}}$=${m}_{a}\frac{{v}_{a}^{2}}{r}$，得 va=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
对卫星b：G$\frac{2M{m}_{b}}{{r}^{2}}$=${m}_{b}\frac{{v}_{b}^{2}}{r}$，得 vb=$\sqrt{\frac{2GM}{r}}$，可得 va：vb=1：$\sqrt{2}$，故A正确，B错误．
C、卫星a和卫星b的周期之比为 Ta：Tb=$\frac{2πr}{{v}_{a}}$：$\frac{2πr}{{v}_{b}}$=$\sqrt{2}$：1，故C正确．
D、卫星a和卫星b的向心加速度之比为 aa：ab=$\frac{{v}_{a}^{2}}{r}$：$\frac{{v}_{b}^{2}}{r}$=1：2．故D正确．
故选：ACD

点评 解决本题的关键要建立卫星运动的模型，抓住万有引力等于向心力这一思路，推导出线速度、周期等的表达式．

练习册系列答案
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