Question

20．三个质量分布均匀的小球A、B、C，质量依次为m、m、2m．这三个小球被固定在边长为L的正三角形的顶点上（球心与顶点重合）．求：
（1）A、B对C球的万有引力大小；
（2）A、C对B球的万有引力大小．

Answer 1

分析 （1）先求A、B两个小球单独对C球的万有引力，再根据平行四边形定则合成
（2）先求A、C两球单独对B球的万有引力，再运用正交分解法求合力

解答 解：（1）A对C的万有引力${F}_{1}^{\;}=G\frac{m•2m}{{L}_{\;}^{2}}=\frac{2G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
B对C的万有引力为${F}_{2}^{\;}=G\frac{m•2m}{{L}_{\;}^{2}}=\frac{2G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
A、B对C球的万有引力大小为$F={F}_{1}^{\;}cos30°+{F}_{2}^{\;}cos30°=\frac{2\sqrt{3}G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
（2）A对B的万有引力为：${F}_{3}^{\;}=G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
C对B的万有引力为：${F}_{4}^{\;}=G\frac{m•2m}{{L}_{\;}^{2}}=\frac{2G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
将${F}_{3}^{\;}、{F}_{4}^{\;}$沿水平和竖直方向正交分解，如图所示
${F}_{4x}^{\;}={F}_{4}^{\;}cos30°=\frac{\sqrt{3}G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
${F}_{4y}^{\;}={F}_{4}^{\;}sin30°=\frac{G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
竖直方向合力${F}_{y}^{\;}={F}_{3}^{\;}+{F}_{4Y}^{\;}=\frac{2G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
水平方向的合力${F}_{x}^{\;}={F}_{4x}^{\;}=\frac{\sqrt{3}G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
A、C对B的万有引力${F}_{B}^{\;}=\sqrt{{F}_{x}^{2}+{F}_{y}^{2}}=\sqrt{7}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$
答：（1）A、B对C球的万有引力大小为$\frac{2G{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$；
（2）A、C对B球的万有引力大小为$\sqrt{7}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{L}_{\;}^{2}}$

点评 本题考查万有引力的叠加，根据力的独立作用原理，根据万有引力定律求出每个小球受到其他小球的引力，画出受力分析图，采用合成法或正交分解法求出合力．