Question

3．如图所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径，某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，要使在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力．则（　　）

• A． 在最高点小球的速度水平，小球既不超重也不失重
• B． 小球经过与圆心等高的位置时，处于超重状态
• C． 盒子在最低点时对小球弹力大小等于2mg，方向向上
• D． 该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于2π $\sqrt{\frac{R}{g}}$

Answer 1

分析 根据盒子在最高点A时盒子与小球之间恰好无作用力，由临界条件可得A点时速度，小球做匀速圆周运动，所以小球在B点速度与A点相同，在B点小球所受的合力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律判断盒子右侧对小球的作用力，盒子下侧对小球还有作用力，两个力合成就是盒子对球的作用力．

解答 解：A、盒子在最高点，若盒子与小球间恰好无作用力，则小球的重力提供向心力，加速度的方向向下，小球处于失重状态．故A错误；
B、小球经过与圆心等高的位置时，竖直方向小球受到的重力与支持力大小相等，方向相反，既不是处于超重状态，也不是失重状态．故B错误；
C、若在最高点A点，盒子与小球间恰好无作用力，则小球的重力提供向心力，有：
$mg=m\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
由于盒子做匀速圆周运动故：${v}_{B}={v}_{A}=\sqrt{gR}$
在最低点B点时有：F-mg=$\frac{m{v}_{B}^{2}}{R}$，F方向指向圆心O，
解得：F=mg盒子对小球还有向上的作用力，大小为2mg，故盒子对小球的作用力大小为2mg；方向向上．故C正确；
D、该盒子做匀速圆周运动的周期一定等于：T=$\frac{2πR}{v}=2π\sqrt{\frac{R}{g}}$．故D正确．
故选：CD

点评 解决本题的关键知道向心力的来源，运用牛顿第二定律和动能定理进行求解．