Question

5．如图所示在Ⅱ、Ⅲ象限存在匀强电场，电场强度为E、方向与y轴负向成45°，Ⅰ、Ⅳ象限存在匀强磁场，磁感应强度为B、方向垂直纸面指向里．一个质量为m，电量为q的负电荷从电场中的P点由静止释放，P点离y轴距离为$\sqrt{2}$L，电荷离开电场后刚好从坐标原点O进入磁场，若电荷在磁场中的轨迹与x轴交点为M，电荷所受重力忽略不计．求
（1）电荷经过O点时的速度．
（2）电荷在磁场中的轨迹半径．
（3）电荷在磁场中运动的总时间．

Answer 1

分析 （1）根据负电荷的受力和运动情况，找到P的坐标，再利用动能定理求出电荷经过O点时的速度；
（2）利用负电荷在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，求出轨迹半径；
（3）利用作出的运动轨迹，根据几何关系找到转过的角度，再求出周期，求出运动的总时间．

解答 解：（1）因为负电荷在Ⅱ、Ⅲ象限只受电场力作用，受到的电场力方向与电场方向相反，最后能从原点O进入磁场，且P点离y轴距离为$\sqrt{2}$L，则P点的坐标只能是$（-\sqrt{2}L，-\sqrt{2}L）$，则x_OP=2L
在电场中，由动能定理得：qEx_OP=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得电荷经过O点时的速度为：v=$\sqrt{\frac{4qEL}{m}}$；
（2）由于电场方向与y轴负向成45°，负电荷沿着电场反方向做匀加速直线运动，则电荷在O点的速度与y轴正方向成45°，由对称性作出负电荷在磁场中运动的轨迹如图所示
负电荷在磁场中洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：R=$\frac{mv}{qB}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mEL}{q}}$；
（3）负电荷在磁场中运动的周期为：T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
由几何关系知，负电荷在磁场中运动绕圆心转过的角度θ=270°
则有：t=$\frac{θ}{360°}T=\frac{270°}{360°}•\frac{2πm}{qB}=\frac{3πm}{2qB}$
答：（1）电荷经过O点时的速度为$\sqrt{\frac{4qEL}{m}}$；
（2）电荷在磁场中的轨迹半径$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mEL}{q}}$；
（3）电荷在磁场中运动的总时间为$\frac{3πm}{2qB}$．

点评 解答本题的关键是掌握带电粒子在磁场中运动的解题思路：找圆心，求半径，画轨迹；另外特别注意粒子在磁场做圆周运动的半径和周期公式不能在计算题中直接使用，需要过程推导．