Question

3．如图所示，水平面xx′上竖直放着两平行金属板M，N，板间距离为L=1m，两板间接一阻值为2Ω的电阻，在N板上开一小孔Q，在M，N及Q上方有向里匀强磁场B₀=1T，在Nx′范围内有一45°分界线连接Q和水平面，NQ与分界线间有向外的磁感应强度B=0.5T的匀强磁场；N、水平面及分界线间有竖直向上的电场；现有一质量为0.2kg的金属棒搭在M、N之间并与MN良好接触，金属棒在MN之间的有效电阻为1Ω，M、N电阻不计，现用额定功率为P₀=9瓦的机械以恒定加速度a=1m/s²匀加速启动拉着金属棒向上运动，在金属棒达最大速度后，在与Q等高并靠近M板的P点释放一个质量为m电量为+q的离子，离子的比荷为20000C/kg，求：
（1）金属棒匀加速运动的时间；（结果保留到小数点后一位）
（2）离子刚出Q点时的速度；
（3）离子出Q点后，经过磁场的竖直向上的电场作用下，刚好能打到分界线与水平面的交点K，过K后再也不回到磁场B中，求Q到水平面得距离及粒子在磁场B中的运动时间．

Answer 1

分析 （1）当金属棒匀速运动时速度达到最大，由E=BLv求出电动势，由欧姆定律球的电流，由安培力公式求出安培力，然后由平衡条件求出金属棒的速度，再根据v=at求出加速时间．
（2）由动能定理可以求出离子的速度．
（3）离子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出离子轨道半径，然后求出Q到水平面的距离，求出离子的运动时间．

解答 解：（1）感应电动势：E=B₀Lv，
安培力：F_安培=B₀IL=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，
由P=Fv可知，拉力：F=$\frac{{P}_{0}}{v}$，
金属棒匀速运动时速度最大，由平衡条件得：
mg+$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=$\frac{{P}_{0}}{v}$，
代入数据解得：v=3m/s  （v=-9m/s  舍去），
由v=at可知，时间：t=$\frac{v}{a}$=$\frac{3}{1}$=3.0s；
（2）MN间的电压：U=IR=$\frac{{B}_{0}Lv}{R+r}$R=$\frac{1×1×3×2}{2+1}$=2V，
对离子，由动能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv′²-0，代入数据解得：v′=200$\sqrt{2}$m/s；
（3）离子在磁场中做匀速运动，由牛顿第二定律得：
qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$，
代入数据解得，轨道半径：r=0.02$\sqrt{2}$m，

如图所示，Q到水平面得距离：d=r=0.02$\sqrt{2}$m，
离子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
代入数据解得：T=2π×10^-4s，
离子在磁场中的运动时间：t=$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2}$×10^-4s；
答：（1）金属棒匀加速运动的时间为3.0s；
（2）离子刚出Q点时的速度为200$\sqrt{2}$m/s；
（3）Q到水平面得距离为0.02$\sqrt{2}$m，粒子在磁场B中的运动时间为$\frac{π}{2}$×10^-4s．

点评 本题是一道基础题，涉及的知识点较多，分析清楚金属棒的运动过程，作出离子运动轨迹是正确解题的关键；处理粒子在磁场中的运动问题，要作出粒子的运动轨迹．