Question

11．某同学想在家里做“用单摆测定重力加速度”的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块大小约为3cm、外形不规则的大理石代替小球．他设计的实验步骤如下：
A．将石块和细尼龙线系好，结点为M，将尼龙线的上端固定于O点，如图所示；
B．用刻度尺测量OM间尼龙线的长度L作为摆长；
C．将石块拉开一个大约α=5°的角度，然后由静止释放；
D．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间t，由T=$\frac{t}{30}$得出周期；
E．改变OM间尼龙线的长度再做几次实验，记下每次相应的l和T；
F．求出多次实验中测得的l和T的平均值，作为计算时用的数据，代入公式g=（$\frac{2π}{T}$）²l，
求出重力加速度g．
（1）该同学以上实验步骤中有重大错误的是BDF．
（2）该同学用OM的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏小（填“偏大”或“偏小”）．
（3）用什么方法可以解决摆长无法准确测量的困难？

Answer 1

分析 （1）摆长等于悬点到大理石块的质心的距离；单摆在摆角较小时（小于5°）可看成简谐运动；在最低点速度最大，此时开始计时误差最小；不能通过测得物理量的平均值作为计算时使用的数据，应根据各组数据求出重力加速度，再求平均值．
（2）根据单摆的周期公式得到g=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$l，再分析误差的大小．
（3）可以设石块质心到M点的距离x，通过周期公式T=2π$\sqrt{\frac{l}{g}}$两次测量列方程组求解．

解答 解：（1）该同学以上实验步骤中有重大错误的是：
B（摆长应从悬点到大理石块的质心）、D、（测量时间应从单摆摆到最低点开始）、F（必须先分别求和各组L和T值对应的g，再取所求得的各个g的平均值）．
（2）根据周期公式T=2π$\sqrt{\frac{l}{g}}$得 g=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$l，用OM的长作为摆长，摆长偏短，所以测得的重力加速度偏小．
（3）可采用如下的方法解决摆长无法准确测量的困难：
设两次实验中摆线长分别为L₁、L₂，对应的周期分别为T₁、T₂，石块质心到M点的距离为x
由T₁=2π $\sqrt{\frac{{l}_{1}+x}{g}}$和T₂=2π $\sqrt{\frac{{l}_{2}+x}{g}}$
联立可解得g=$\frac{4{π}^{2}（{l}_{1}-{l}_{2}）}{{T}_{1}^{2}-{T}_{2}^{2}}$．
本题答案为：（1）BDF   （2）偏小．（3）见解析．

点评 解决本题的关键掌握单摆的周期公式T=2π$\sqrt{\frac{l}{g}}$，会用单摆的周期公式测得重力加速度．