Question

2．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．求：
（1）地球第一宇宙速度v₁的表达式；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，卫星的运行周期T的表达式．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，重力等于万有引力，引力等于向心力，列式求解；
（2）根据万有引力提供向心力即可求解．

解答 解：（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，不考虑地球自转的影响，在地球表面物体所受重力等于地球对物体的引力
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$ ①
整理得G M=R ²g                  
卫星在地表附近做匀速圆周运动受到的万有引力提供向心力
$\frac{GMm}{{R}^{2}}=M\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$  ②
①式代入 ②式，得到 v₁=$\sqrt{gR}$         
（2）若卫星在距地面高为h上空做匀速圆周运动时，所受到的万有引力为：
   $F=\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$  ③
由牛顿第二定律：
$F=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$   ④
①、③、④联立解得
T=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$     
答：（1）地球第一宇宙速度的表达式v₁=$\sqrt{gR}$；
（2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，卫星的运行周期T的表达式T=$\frac{2π（R+h）}{R}\sqrt{\frac{R+h}{g}}$．

点评 卫星所受的万有引力等于向心力、地面附近引力等于重力是卫星类问题必须要考虑的问题，本题根据这两个关系即可列式求解．