Question

7．如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，一小球从高h（大小未知）的A处由静止开始下滑．沿轨道ABC运动后进入圆环内，已知圆轨道半径为R，斜面倾角为θ=53°，则
（1）要使小球能在圆轨道内做完整的圆周运动，h至少多大；
（2）若使该轨道整体处于水平向右的匀强电场中，并使一带负电小球从高H（大小未知）的D处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内．已知小球所受到电场力是其重力的$\frac{3}{4}$，且BC=2R，要使小球在圆轨道内能做完整的圆周运动，H至少多少？

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求的最高点的速度，由动能定理求的高度
（2）对小球受力分析可知小球受到的合力为恒力F=$\frac{5}{4}$mg，在复合场中做完整的圆周运动的临界条件是恰好通过等效最高点，根据圆周运动知识可求得临界速度，再选择A点为初态，D点为末态，根据动能定理求出高度h．

解答 解：（1）在最高点mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
有动能定理可知mg（h-2R）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
联立解得h=2.5R
（2）小球所受的重力和电场力都为恒力，故两力可等效为一个力F，如图所示，可知F=$\frac{5}{4}$mg，方向与竖直方向夹角为37°，偏左下；
从图中可知，做完整的圆周运动的临界条件是恰能通过D点，若球恰好能通过D点，则达到D点时小球与圆环间的弹力恰好为零，
由圆周运动知识得：F=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$即：$\frac{5}{4}$mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
选择A点作为初态，D点为末态，由动能定理有：
mg（h-R-Rcos37°）-$\frac{3}{4}$mg（htan37°+2R+Rsin37°）=$\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}$
代入数据：mg（h-1.8R）-$\frac{3}{4}$mg（$\frac{3}{4}$h+2.6R）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{4}$mgR
7h=10R+60R=70R
解得：h=10R
答：（1）使小球能在圆轨道内做完整的圆周运动，h至少2.5R
（2）若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h至少为10R．

点评 本题考查复合场中圆周运动的临界状态和动能定理的应用，注意在复合场中找到等效最高点，而不是重力场中的最高点．