Question

15．如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L．M、P两点间接有电阻值为R的电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．求：
（1）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时杆中的电流及杆的加速度大小；
（2）在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．

Answer 1

分析 （1）当导体棒的速度为v时，根据公式E=BLv求出电动势，根据闭合电路的欧姆定律即可求出电流，根据右手定则判断出通过MN棒的电流的方向；
（2）导体棒运动到达最大速度时，受到的重力、支持力与安培力的合力等于0，然后使用力的正交分解法即可求出安培力的大小，代入安培力的计算公式即可．

解答 解：（1）当导体棒的速度为v时，产生的感应电动势为E=BLv，回路中的电流大小为：
I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$；
导体棒在磁场中运动时，所受安培力大小为：
F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
由左手定则可知，安培力方向沿斜面向上，根据牛顿第二定律，则有：
ma=mgsinθ-F；
解得：a=gsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$；
（2）当F=mgsinθ时，即导体棒的加速度为零时，ab杆达最大速度v_max，
即：mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$
可解得最大速度为：v_m=$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时杆中的电流$\frac{BLv}{R}$ 及杆的加速度大小gsinθ-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{mR}$；
（2）在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值$\frac{mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 本题的关键是会推导安培力的表达式，根据平衡条件、牛顿第二定律和能量守恒研究电磁感应现象，常规题．