Question

4．在水平面上固定着一个足够长的宽为L、倾角为30°光滑绝缘斜面，在斜面顶端的两侧，各固定有一个光滑的定滑轮，MN、PQ是两根金属棒，用细导线通过两滑轮跨接在斜面上，如图所示，已知MN的质量为3m、电阻为r，PQ的质量为m，电阻为2r，其余部分质量和电阻均不计．整个空间存在着水平向右的匀强磁场，磁感应强度为B；开始时，MN静止在斜面顶端，PQ在竖直面内，试求：（不计电磁辐射）
（1）MN在运动过程中的最大速度；
（2）若通过传感器测得通过导线横截面的电量为BL²/6r，整个回路产生的电热是多少？．

Answer 1

分析 （1）导体棒匀速运动时受力平衡，分别对PQ和MN棒研究，由平衡条件和安培力公式列式，即可求得速度．
（2）先根据平均电动势以及Q=It求出PQ下降的距离，然后根据系统的能量守恒列式，即可求得电阻R上产生的焦耳热．

解答 解：（1）导体棒匀速运动时，设棒的速度为v；
PQ棒向下运动，由右手定则可知，产生的感应电流的方向由P流向Q；MN棒向上运动，由右手定则可知，感应电流由N流向M，两个感应电流的方向在电路中是同向的，所以电路中的总电动势是两部分电动势的和．
PQ产生的电动势为：E₁=BLv
MN产生的电动势为：E₂=BLvsin30°=0.5BLv
回路中的总电动势为：E=E₁+E₂=1.5BLv
回路中的电流为：I=$\frac{E}{r+2r}=\frac{1.5BLv}{3r}=\frac{BLv}{2r}$
由左手定则可知，PQ受到的安培力的方向向上，MN受到的安培力的方向向下；设MN与PQ之间细导线的拉力为T，根据平衡条件，
 对金属棒PQ有：3mg=T+F₁
 对金属棒MN有：T=mgsinθ+F₂，
又：F₁=F₂=BIL
可解得：v=$\frac{2.5mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）设该过程中PQ下降的距离为d，则MN也沿斜面向上运动d，PQ扫过的面积为：S₁=Ld
MN扫过的垂直于磁场方向的面积为：S₂=Ldsin30°=1.5Ld
设该过程使用的时间为t，则平均电动势为：$\overline{E}=\frac{B（{S}_{1}+{S}_{2}）}{t}$
电路中的平均电流为：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{r+2r}$
通过导线横截面的电量为：q=$\overline{I}t$
又已知：q=$\frac{B{L}^{2}}{6r}$
联立可得：d=$\frac{L}{3}$
PQ与MN运动距离d的过程中，根据能量守恒定律得：
  3mgd-mgdsinθ=$\frac{1}{2}（3m+m）{v}^{2}$+Q  
可得：Q=$\frac{5}{6}mgL-\frac{12.5{m}^{3}{g}^{2}{r}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）MN在运动过程中的最大速度是$\frac{2.5mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）整个回路产生的电热是$\frac{5}{6}mgL-\frac{12.5{m}^{3}{g}^{2}{r}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 本题是电磁感应中的力学问题，关键要正确推导出安培力与速度的关系，正确分析能量如何转化，从力和能两个角度进行求解．