Question

3．如图所示，固定的光滑金属导轨电阻不计，导轨平面与水平面的夹角为θ，整个装置处在磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，导轨较宽部分宽度为L₁，较窄部分宽度为L₂，质量为m₁的导体棒ab与固定弹簧相连后放在较宽导轨上，较窄导轨上固定两立柱，其上放置一质量为m₂导体棒cd，导体棒ab、cd接入电路的电阻分别为R、r．初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒ab具有沿轨道向上的初速度，此时两立柱对导体棒cd的支持力恰好为零．整个运动过程中，导体棒ab始终与导轨垂直并保持良好接触，导体棒cd始终静止不动．已知弹簧的劲度系数为k，弹簧的中心轴线与导轨平行，重力加速度为g．求：
（1）初始时刻通过导体棒cd的电流I的大小和方向；
（2）初始时刻导体棒ab速度大小v₀及加速度大小a₀；
（3）已知导体棒ab最终静止时弹簧的弹性势能为E_p，导体棒ab从初始时刻直到停止的过程中，导体棒ab上产生的焦耳热Q₁．

Answer 1

分析 （1）初始时刻两立柱对导体棒cd的支持力恰好为零，根据共点力平衡条件求解电流强度，根据左手定则判断电流方向；
（2）根据导体棒ab切割磁感应线计算根据电动势，结合闭合电路的欧姆定律计算初速度；对导体棒ab根据牛顿第二定律计算加速度；
（3）导体棒最终静止，根据共点力平衡条件计算弹簧压缩量；根据能量守恒定律结合串联电路的特点求解导体棒ab上产生的焦耳热Q₁．

解答 解：（1）初始时刻两立柱对导体棒cd的支持力恰好为零，则有：
BIL₂=m₂gsinθ，
解得：I=$\frac{{m}_{2}gsinθ}{B{L}_{2}}$，
根据左手定则可知电流方向由d到c；
（2）初始时刻导体棒ab切割磁感应线，则有：E=BL₁v₀，
根据闭合电路的欧姆定律可得：E=I（R+r）
解得：v₀=$\frac{{m}_{2}gsinθ（R+r）}{{B}^{2}{L}_{1}{L}_{2}}$；
由于此时弹簧处于原长，对导体棒ab根据牛顿第二定律可得：
m₁gsinθ+BIL₁=m₁a₀，
解得：a₀=gsinθ+$\frac{{m}_{2}gsinθ{L}_{1}}{{m}_{1}{L}_{2}}$；
（3）导体棒最终静止，则有：m₁gsinθ=kx，
设整个过程中回路中产生的焦耳热为Q，根据能量守恒定律有：
$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{0}^{2}+{m}_{1}gxsinθ={E}_{p}+Q$，
导体棒ab上的焦耳热：Q₁=$\frac{R}{R+r}Q$，
解得：Q₁=$\frac{R}{R+r}[\frac{1}{2}{m}_{1}{（\frac{{m}_{2}gsinθ（R+r）}{{B}^{2}{L}_{1}{L}_{2}}）}^{2}+{\frac{（{m}_{1}gsinθ）}{k}}^{2}-{E}_{p}]$．
答：（1）初始时刻通过导体棒cd的电流I的大小为$\frac{{m}_{2}gsinθ}{B{L}_{2}}$、方向由d到c；
（2）初始时刻导体棒ab速度大小为$\frac{{m}_{2}gsinθ（R+r）}{{B}^{2}{L}_{1}{L}_{2}}$，加速度大小为gsinθ+$\frac{{m}_{2}gsinθ{L}_{1}}{{m}_{1}{L}_{2}}$；
（3）导体棒ab上产生的焦耳热为$\frac{R}{R+r}[\frac{1}{2}{m}_{1}{（\frac{{m}_{2}gsinθ（R+r）}{{B}^{2}{L}_{1}{L}_{2}}）}^{2}+{\frac{（{m}_{1}gsinθ）}{k}}^{2}-{E}_{p}]$．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下的平衡问题；另一条是能量，分析能量如何转化是关键．