Question

14．弹跳杆运动是一项广受欢迎的运动．某种弹跳杆的结构如图甲所示，一根弹簧套在T型跳杆上，弹簧的下端固定在跳杆的底部，上端固定在一个套在跳杆上的脚踏板底部．一质量为M的小孩站在该种弹跳杆的脚踏板上，当他和跳杆处于竖直静止状态时，弹簧的压缩量为x₀．从此刻起小孩做了一系列预备动作，使弹簧达到最大压缩量3x₀，如图乙（a）所示；此后他开始进入正式的运动阶段．在正式运动阶段，小孩先保持稳定姿态竖直上升，在弹簧恢复原长时，小孩抓住跳杆，使得他和弹跳杆瞬间达到共同速度，如图乙（b）所示；紧接着他保持稳定姿态竖直上升到最大高度，如图乙（c）所示；然后自由下落．跳杆下端触地（不反弹）的同时小孩采取动作，使弹簧最大压缩量再次达到3x₀；此后又保持稳定姿态竖直上升，…，重复上述过程．小孩运动的全过程中弹簧始终处于弹性限度内．已知跳杆的质量为m，重力加速度为g．空气阻力、弹簧和脚踏板的质量、以及弹簧和脚踏板与跳杆间的摩擦均可忽略不计．
（1）求弹跳杆中弹簧的劲度系数k，并在图丙中画出该弹簧弹力F的大小随弹簧压缩量x变化的示意图；
（2）借助弹簧弹力的大小F随弹簧压缩量x变化的F-x图象可以确定弹力做功的规律，在此基础上，求在图乙所示的过程中，小孩在上升阶段的最大速率；
（3）求在图乙所示的过程中，弹跳杆下端离地的最大高度．

Answer 1

分析 （1）根据平衡条件以及胡克定律可求得劲度系数，并画出对应的图象；
（2）对全过程进行分析，根据机械能守恒定律可求得最大速度；
（3）分别对弹簧恢复原状和小孩抓住杆的过程由机械能守恒定律和动量守恒定律列式，联立即可求得最大高度．

解答 解：（1）小孩处于静止状态时，根据平衡条件有 Mg=kx₀ 
解得：k=$\frac{Mg}{{x}_{0}}$
F-x图如图所示．
（2）利用F-x图象可知，图线与横轴所包围的面积大小等于弹簧弹力做功的大小．
弹簧压缩量为x时，弹性势能为 E_p弾=$\frac{1}{2}$kx²
图a状态弹簧的弹性势能为 E_p弾1=$\frac{1}{2}$k（3x₀）²
小孩从图a至图b的过程，小孩先做加速运动后做减速运动，当弹簧弹力与重力等大时小孩向上运动的速度最大，设其最大速度为v_max．
此时弹簧压缩量为x₀，弹簧的弹性势能为 E_p弾2=$\frac{1}{2}$kx${\;}_{0}^{2}$
从图a至小孩向上运动速度达到最大的过程中，小孩和弹簧系统机械能守恒，因此有：
  $\frac{1}{2}$k（3x₀）²=Mg（3x₀-x₀）+$\frac{1}{2}$Mv_max²+$\frac{1}{2}$kx${\;}_{0}^{2}$
解得：v_max=2$\sqrt{g{x}_{0}}$
（3）图a状态至弹簧长度为原长的过程中，小孩和弹簧系统机械能守恒．设小孩在弹簧长度为原长时的速度为v₀，则有：
  $\frac{1}{2}$k（3x₀）²=Mg（3x₀）+$\frac{1}{2}$Mv${\;}_{0}^{2}$ 
小孩迅速抓住跳杆的瞬间，内力远大于外力，小孩和弹跳杆系统动量守恒．
设小孩和弹跳杆共同速度为v₁，规定竖直向上方向为正，由动量守恒定律有
  Mv₀=（M+m）v₁
小孩和弹跳杆一起竖直上升至最高点，小孩和弹跳杆系统机械能守恒，因此有：
 $\frac{1}{2}$（M+m）v${\;}_{1}^{2}$=（M+m）gh_max
解得：h_max=$\frac{3{M}^{2}{x}_{0}}{2（M+m）^{2}}$
答：
（1）弹跳杆中弹簧的劲度系数k为$\frac{Mg}{{x}_{0}}$，F-x图如图所示；
（2）在图乙所示的过程中，小孩在上升阶段的最大速率是2$\sqrt{g{x}_{0}}$；
（3）在图乙所示的过程中，弹跳杆下端离地的最大高度是$\frac{3{M}^{2}{x}_{0}}{2（M+m）^{2}}$．

点评 本题考查机械能守恒定律的应用，要注意正确分析全过程，明确弹簧的弹性势能与重力势能之间的转化及守恒规律的应用；即注意能量转化的方向问题．