Question

11．如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器P的角度为θ，己知万有引力常量G，下列说法正确的是（　　）

• A． 张角越大，飞行器P的周期越长
• B． 若测得张角和轨道半径，可得到飞行器P的质量
• C． 若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
• D． 若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度

Answer 1

分析 根据开普勒第三定律，分析周期与轨道半径的关系；飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，由星球的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和几何知识、密度公式可求解星球的平均密度．

解答 解：A、由图可知轨道半径越小，张角越大，根据开普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}=k$，张角越大，飞行器的周期越小，故A错误；
B、根据万有引力提供向心力公式可知，飞行器P的质量在公式两边约去，不能求出飞行器P的质量，故B错误；
C、设星球的质量为M，半径为R，平均密度为，ρ．张角为θ，飞行器的质量为m，轨道半径为r，周期为T．
对于飞行器，根据万有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
由几何关系有：R=rsin$\frac{θ}{2}$，
星球的平均密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{2}}$
由以上三式知测得周期和张角，可得到星球的平均密度．故C正确；
D、由G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r可得：M=$\frac{4π{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，可知若测得周期和轨道半径，可得到星球的质量，但星球的半径未知，不能求出星球的平均密度，故D错误．
故选：C

点评 本题关键掌握开普勒定律和万有引力等于向心力这一基本思路，结合几何知识进行解题，注意不能求解环绕天体的质量．