Question

8．如图所示，粗糙的斜面AB下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，整个装置竖直放置，C是最低点，圆心角∠BOC为θ=37°，D与圆心O等高，圆弧轨道半径R=1.0m，斜面长L=4.0m，现有一个质量m=1.0kg的小物体P从斜面AB上端A点无初速下滑，物体P与斜面AB之间的动摩擦因数为μ=0.25，g取10m/s²．求：
（1）物体P第一次通过C点时的速度大小；
（2）物体P第一次离开D点后在空中做竖直上抛运动，不计空气阻力，则最高点E和D点之间的高度差为多大？
（3）物体P从空中又返回到圆轨道和斜面，做往复运动，在整个过程中，物体P对轨道上C点的最小压力是多大？

Answer 1

分析 （1）对A到C的运动过程应用动能定理即可求解；
（2）对C到E的运动过程应用机械能守恒即可求解；
（3）分析物体受力情况得到物体最终运动状态，然后由机械能守恒求得在C点的速度，再由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力．

解答 解：（1）物体P从A下滑经B到C过程中只有重力、摩擦力做功，根据动能定理可得：
$mgLsin37°+mgR（1-cos37°）-μmgLcos37°=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-0$；
解得：${v}_{C}=\sqrt{2g[Lsin37°+R（1-cos37°）-μLcos37°]}$=6m/s；
（2）物体P从C到E的过程只有重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mg（R+h）$
所以，最高点E和D点之间的高度差为：$h=\frac{{{v}_{C}}^{2}}{2g}-R=0.8m$；
（3）物体P在AB斜面上由最大静摩擦力f=μmgcos37°＜mgsin37°，故物体P最终不能停留在PB上，
所以，物体P最后在B与其等高的圆弧轨道上来回运动时，经C点压力最小；
物体P在做来回运动时只有重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{v}_{C}{′}^{2}=mgR（1-cos37°）$；
那么，对物块在C点应用牛顿第二定律可得：${F}_{N}-mg=\frac{m{v}_{C}{′}^{2}}{R}=2mg（1-cos37°）=0.4mg$；
所以，由牛顿第三定律可得：物体P对轨道上C点的最小压力为：N=F_N=1.4mg=14N；
答：（1）物体P第一次通过C点时的速度大小为6m/s；
（2）物体P第一次离开D点后在空中做竖直上抛运动，不计空气阻力，则最高点E和D点之间的高度差为0.8m；
（3）物体P从空中又返回到圆轨道和斜面，做往复运动，在整个过程中，物体P对轨道上C点的最小压力是14N．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．