Question

12．一玻璃砖的截面形状如图所示，其中OAB为半径r的$\frac{1}{4}$圆，OBED为矩形，其中矩形的宽BE=$\frac{\sqrt{2}}{4}$r，一细光束以与OB成45°的方向射向圆心O，光束恰好在AD边界发生全反射，之后经DE边反射后从AB边上的N点射出．已知光在真空中的传播速度为c．求：
①光束由N点射出时的折射角；
②光束在玻璃砖中传播的时间．

Answer 1

分析 （1）先作出光路图，根据几何关系得出临界角，由全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出折射率n．由几何知识求得光线在F点的入射角，由折射定律求解光束由N点射出时的折射角．
（2）光在棱镜中的传播速度v=$\frac{c}{n}$．由几何知识求出光线在棱镜中传播的距离S，由t=$\frac{S}{v}$求解传播的时间．

解答 解：①作出光路图如图所示．

根据几何关系可知，临界角为
C=∠MOB=45°
sinC=$\frac{1}{n}$
得：n=$\frac{1}{sinC}$=$\sqrt{2}$
又OD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$r，OG=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{4}$r=$\frac{1}{2}$r
根据几何关系可知△OGN是直角三角形，则
sinα=$\frac{OG}{ON}$=$\frac{1}{2}$
根据折射定律有n=$\frac{sinβ}{sinα}$
解得：sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，β=45°
②光束在玻璃砖中的传播速度为：v=$\frac{c}{n}$=$\frac{c}{\sqrt{2}}$
由几何知识得，光束在玻璃砖中传播的距离为：l=r+$\frac{1}{2}$r+$\frac{\sqrt{3}r}{2}$
则光束在玻璃砖中传播的时间为：t=$\frac{l}{v}$=$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）r}{2c}$
答：①光束由N点射出时的折射角是45°；
②光束在玻璃砖中传播的时间$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）r}{2c}$．

点评 本题的突破口是“光线恰好在圆心O点发生全反射”，根据全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$、折射定律n=$\frac{sini}{sinr}$、光速公式v=$\frac{c}{n}$相结合进行处理．分析时，要灵活几何知识求解相关角度和光传播的距离，要加强这方面的训练．