Question

7．太阳系中几乎所有天体包括小行星都自转，自转导致星球上的物体所受的重力与万有引力的大小之间存在差异，有的两者的差异可以忽略，有的却不能忽略．若有一个这样的星球，半径为R，绕过两极且与赤道平面垂直的轴自转，测得其赤道上一物体的重力是两极上的$\frac{7}{8}$．则该星球的同步卫星离星球表面的高度为（　　）

• A． $\frac{7}{8}$R
• B． R
• C． 2R
• D． 2$\sqrt{2}$R

Answer 1

分析 赤道上的物体受到的万有引力与重力之差提供了物体随星球自转而做圆周运动所需要的向心力，应用万有引力定律与牛顿第二定律求出同步卫星的轨道半径，然后求出同步卫星离地面的高度

解答 解：设物体质量为m，星球质量为M，星球的自转周期为T，物体在星球两极时，万有引力等于重力，有G$\frac{mM}{R2}$=mg，
物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一部分提供，G$\frac{mM}{R2}$=mg′+F_n，mg′=$\frac{7}{8}$mg，
则F_n=$\frac{1}{8}$G$\frac{Mm}{R2}$=m（$\frac{2π}{T}$）²R，星球的同步卫星的周期等于自转周期，设其离星球表面的高度为h，则有G$\frac{Mm′}{（R+h）2}$=m′（$\frac{2π}{T}$）²（R+h），
联立得：h=R　则B正确
故选：B

点评 本题考查了求同步卫星距地的高度，认真审题、理解题意，应用万有引力定律与牛顿第二定律即可正确解题．