Question

4．如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A，B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为0.5mg．求A、B两球落地点间的距离．

Answer 1

分析 对两个球分别受力分析，根据合力提供向心力，由牛顿第二定律求出两球通过C点的速度，此后球做平抛运动，正交分解后，根据运动学公式列式求解即可．

解答 解：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球均做平抛运动，A、B两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差．
对A球：mg+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=$\sqrt{2gR}$
对B球：mg-0.5mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：v_B=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
由平抛运动规律可得落地时它们的水平位移分别为：
s_A=v_At=v_A$\sqrt{\frac{2×2R}{g}}$=$\sqrt{2gR}$×2$\sqrt{\frac{R}{g}}$=2$\sqrt{2}$R
s_B=v_Bt=v_B $\sqrt{\frac{2×2R}{g}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$×2$\sqrt{\frac{R}{g}}$=$\sqrt{2}$R
则有：s_A-s_B=$\sqrt{2}$R
答：A、B两球落地点间的距离为$\sqrt{2}$R．

点评 本题关键是对小球在最高点处时受力分析，然后根据向心力公式和牛顿第二定律求出平抛的初速度，最后根据平抛运动的分位移公式列式求解．