Question

14．如图所示，一个质量为m=1kg的小球在高度为h=0.2m的弯曲轨道AB从最高点A点静止释放，最后离开B后做平抛运动，随后在C点恰好沿圆弧切线方向进入一个固定的光滑圆弧轨道CDE中，并且恰能通过圆弧的最高点E，已知圆弧半径R=0.3m，圆心O与C的连线OC与竖直方向的夹角θ=60°，取重力加速度g=10m/s²．试求：
（1）在圆弧切入点C时轨道对小球的作用力F₁；
（2）在弯曲轨道AB中运动时阻力对小球做的功W₁；
（3）B与E点的距离S．（结果保留两位有效数字）

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出最高点E的速度，结合动能定理求出C点的速度，根据牛顿第二定律，抓住径向的合力提供向心力求出在圆弧切入点C时轨道对小球的作用力；
（2）根据平行四边形定则求出平抛运动的初速度，对AB段运用动能定理，求出阻力做功的大小．
（3）根据平行四边形定则求出C点的竖直分速度，结合速度时间公式求出平抛运动的时间，从而得出平抛运动的水平位移和竖直位移，结合几何关系求出BE间的距离．

解答 解：（1）小球恰能通过圆弧的最高点E，
根据牛顿第二定律得，mg=$m\frac{{{v}_{E}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{E}=\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.3}$m/s=$\sqrt{3}$m/s，
根据动能定理得，$-mgR（1+cosθ）=\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
代入数据解得v_C=$2\sqrt{3}$m/s．
根据牛顿第二定律得，${F}_{1}-mgcos60°=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得F₁=45N．
（2）在C点，根据平行四边形定则知，${v}_{0}={v}_{C}cos60°=\sqrt{3}m/s$，
根据动能定理得，$mgh+{W}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-0$，
代入数据解得W₁=-0.5J．
（3）小球在C点的竖直分速度${v}_{y}={v}_{c}sin60°=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}m/s=3m/s$，
则B到C的时间$t=\frac{{v}_{y}}{g}=\frac{3}{10}s=0.3s$，
BC间的高度差$h′=\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{1}{2}×10×0.09m=0.45m$，
则BD间的高度差$h″=h′+\frac{1}{2}R=0.45+0.15m=0.6m$，
DE的高度差为2R=0.6m，
则BE等高，
所以BE间的距离S=${v}_{0}t+Rsinθ=\sqrt{3}×0.3+0.3×\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$0.45\sqrt{3}$m≈0.78m．
答：（1）在圆弧切入点C时轨道对小球的作用力F₁为45N；
（2）在弯曲轨道AB中运动时阻力对小球做的功W₁为-0.5J；
（3）B与E点的距离S为0.78m．

点评 本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外，求速度的问题，动能定理不失为一种好的方法．