Question

10．有两个人造地球卫星，都绕地球做匀速圆周运动，已知它们的轨道半径之比r₁：r₂=1：3，求这两个卫星的：
（1）线速度之比；
（2）角速度之比；
（3）向心加速度之比；
（4）运动周期之比．

Answer 1

分析 根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出线速度、角速度、向心加速度、周期的表达式进行讨论即可．

解答 解：（1）人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有F=F_向，
则$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
轨道半径之比r₁：r₂=1：3，
所以它们的线速度之比v₁：v₂=$\sqrt{3}$：1，
（2）根据$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mω²r
解得：ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
所以角速度之比ω₁：ω₂=$3\sqrt{3}$：1，
（3）根据$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma
解得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$
所以向心加速度之比a₁：a₂=9：1，
（4）根据$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=$m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
解得：$T=2π\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
所以周期之比 T₁：T₂=1：$3\sqrt{3}$．
答：（1）线速度之比为$\sqrt{3}$：1；
（2）角速度之比为$3\sqrt{3}$：1；
（3）向心加速度之比为9：1；
（4）运动周期之比为1：$3\sqrt{3}$．

点评 本题关键抓住万有引力提供向心力，列式求解出线速度、角速度、向心加速度和向心力的表达式，再进行讨论．