Question

14．如图所示，半径为R=0.2m的光滑$\frac{1}{4}$圆弧AB在竖直平面内，圆弧B处的切线水平．B端高出水平地面h=0.8m，O点在B点的正下方．将一质量为m=1.0kg的滑块从A点由静止释放，落在水平面上的C点处，（g取10m/s²）
求：（1）OC的长度X；
（2）在B端接一长为L=1.0m的木板MN，滑块从A端释放后正好运动到N端停止，求木板与滑块的动摩擦因数μ；
（3）若将木板右端截去长为△L的一段，滑块从A端释放后将滑离木板落在水平面上P点处，要使落地点P距O点最远，△L应为多少？

Answer 1

分析 （1）滑块从光滑圆弧下滑过程中，只有重力做功，滑块的机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解B点速度，滑块从B到C过程中做平抛运动，根据平抛运动的分位移公式列式求解；
（2）滑块从B端运动到N端停止过程，滑动摩擦力对滑块做负功，根据动能定理求出木板与滑块的动摩擦因数；
（3）若将木板右端截去长为△L的一段，根据动能定理求出滑块滑到木板右端的速度，由平抛运动知识得出落地点距O点的距离与△L的关系，由数学知识求出此距离的条件．

解答 解：（1）滑块从光滑圆弧下滑过程中，根据机械能守恒定律得
  mgh₁=$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$，
得v_B=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=$\sqrt{2×10×0.2}$=2m/s
滑块离开B点后做平抛运动，则
竖直方向：h₂=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向：x=v_Bt
联立得到x=v_B$\sqrt{\frac{2{h}_{2}}{g}}$=2×$\sqrt{\frac{2×0.8}{10}}$=0.8m
（2）滑块从B端运动到N端停止过程，根据动能定理得
-μmgL=0-$\frac{1}{2}$m${v}_{B}^{2}$
代入解得μ=0.2
（3）若将木板右端截去长为△L的一段后，设滑块滑到木板最右端时速度为v，由动能定理得
-μmg（L-△L）=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
滑块离开木板后仍做平抛运动，高度不变，运动时间不变，则
落地点距O点的距离S=L-△L+vt
联立整理得，S=0.8$\sqrt{△L}$-△L
根据数学知识得知，当$\sqrt{△L}$=0.4时，S最大，即△L=0.16m时，S最大．
答：
（1）OC的长为0.8m；
（2）木板与滑块的动摩擦因数为0.2；
（3）若将木板右端截去长为△L的一段，滑块从A端释放后将滑离木版落在水平面上P点处，要使落地点距O点的距离最远，△L应为0.16m．

点评 此题前两问是常规题，是机械能守恒和动能定理综合．第（3）问，考查运用数学知识求解物理极值的能力．