Question

1．质量为m=2kg的小物块放在长直水平面上，用水平细线紧绕在半径为R=1m的薄壁圆筒上．t=0时刻，圆筒在电动机带动下由静止开始绕竖直中心轴转动，转动中角速度满足ω=β₁t（式中β₁=2rad/s²），物块和地面之间动摩擦因数为μ=0.5，g取10m/s²．

（1）试分析说明物块的运动性质，并求物块运动中所受的拉力．
（2）若当圆筒角速度达到ω₀=20rad/s时，使其开始做减速转动，并以此时刻为t=0，且角速度满足ω=ω₀-β₂t（式中β₂=4rad/s²），则减速多长时间后小物块停止运动？

Answer 1

分析 （1）根据公式v=ωR求解出线速度表达式进行分析即可；受力分析后根据牛顿第二定律列式求解拉力；
（2）分细线拉紧和没有拉紧两种情况分析．

解答 解：（1）圆筒边缘线速度与物块前进速度大小相同，根据v=ωR，得：v=Rβ₁t=2t
可见线速度与时间成正比，物块做初速度为零的匀加速直线运动，物块加速度为：
${a_1}=R{β_1}=2m/{s^2}$
根据物块受力，由牛顿第二定律得：
T-μmg=ma₁
则细线拉力为：T=14N
（2）圆筒减速后，边缘线速度大小为：v=ωR=ω₀R-β₂Rt
即线速度变化率为：${a_2}=\frac{△v}{△t}=R{β_2}=4m/{s^2}$
因${a_2}＜μg=5m/{s^2}$，细线处于拉紧状态，物块与圆筒一起减速，同时停止．
因此，物块减速时间为：$t=\frac{△v}{a_2}=\frac{{{ω_0}R}}{a_2}=5s$
答：（1）物块做初速度为零的匀加速直线运动，物块运动中所受的拉力为14N．
（2）减速5s后小物块停止运动

点评 本题提到了角加速度这个新的概念，关键是推导出滑块的线速度公式进行分析，将转动的研究转化为平动的研究进行分析