Question

11．宇航员在某星球表面让一个小球以v₀的速度做竖直上抛运动，经过时间t小球落回到抛出点，万有引力常量为G，若忽略星球自传．
（1）求该星球表面附近的重力加速度g；
（2）已知该星球的半径为R，求该星球的密度ρ．

Answer 1

分析 （1）小球在月球表面做竖直上抛运动，由速度时间公式求出月球表面的重力加速度；
（2）忽略球体自转的影响，万有引力和重力相等求解中心天体的质量，再根据$ρ=\frac{m}{V}$求解天体密度．

解答 解：（1）小球竖直上抛后做匀变速直线运动，取竖直向上为正方向，根据运动学规律有：$v={v}_{0}^{\;}+at$
代入数据：$0={v}_{0}^{\;}+（-g）\frac{t}{2}$
解得：$g=\frac{2{v}_{0}^{\;}}{t}$
（2）设某星球的质量为M，忽略星体和地球的自转，表面的物体受到的万有引力等于重力，有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
该星球的密度为$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3{v}_{0}^{\;}}{2πGRt}$
答：（1）求该星球表面附近的重力加速度g为$\frac{2{v}_{0}^{\;}}{t}$；
（2）已知该星球的半径为R，求该星球的密度ρ为$\frac{3{v}_{0}^{\;}}{2πGRt}$

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力这一重要理论，并能灵活运用，该理论运用比较广泛，所以将$GM=g{R}_{\;}^{2}$称为“黄金代换式”