Question

7．质量为m的汽车，在平直公路上以恒定的加速度匀加速启动，汽车到达额定功率时速度的大小v，此时恰好开始下坡，司机立刻调整发动机的功率为额定功率的一半，使汽车以大小为v的速度沿坡路匀速下滑，下滑一段路程后汽车又开足马力以额定功率加速下滑，在坡路上加速t时间后，车速达到最大，且最大车速是刚下坡时速度的2倍．已知坡面的倾角为θ，重力加速度为g，水平路面和坡面对车的阻力相同，在t时间内汽车沿坡路通过的距离为S．试求：
（1）汽车的额定功率．
（2）平直公路和坡面对车的阻力的大小．
（3）汽车在平直公路上匀加速行驶的加速度的大小．

Answer 1

分析 （1）汽车在加速下坡的过程中，牵引力、重力和阻力做功，由动能定理即可求出汽车的功率；
（2）汽车匀速下坡的过程中受力平衡，根据受力分析即可求出阻力；
（3）汽车在水平面上运动的过程中合力提供加速度，通过受力分析即可求出加速度．

解答 解：（1）（2）汽车在加速下坡的过程中，牵引力做正功、重力做正功，阻力做负功，由动能定理得：
$Pt+mgsinθ•S-f•S=\frac{1}{2}m（2v）^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$   ①
汽车匀速下坡的过程中受力平衡，根据受力分析可知：
$\frac{\frac{P}{2}}{v}+mgsinθ=f$   ②
联立①②得：汽车的功率：P=$\frac{3m{v}^{3}}{2vt-S}$，f=$\frac{3m{v}^{2}}{4vt-2S}+mgsinθ$
（3）汽车在水平面上运动的过程中受到牵引力与阻力的作用，合力提供加速度，由牛顿第二定律得：
F-f=ma   ③
又：$F=\frac{P}{v}$  ④
联立以上方程，得：a=$\frac{3{v}^{2}}{4vt-2S}-gsinθ$
答：（1）汽车的额定功率是$\frac{3m{v}^{3}}{2vt-S}$．
（2）平直公路和坡面对车的阻力的大小是$\frac{3m{v}^{2}}{4vt-2S}+mgsinθ$．
（3）汽车在平直公路上匀加速行驶的加速度的大小是$\frac{3{v}^{2}}{4vt-2S}-gsinθ$．

点评 该题结合机车的启动模型，综合考查了动能定理、牛顿第二定律以及瞬时功率与速度的关系等，涉及的知识点比较多，难度中等，需加强这类题型的训练．