Question

14．如图所示，位于竖直平面内的粗糙斜轨道AB与光滑水平轨道BC及竖直光滑半圆形轨道CD平滑连接，半圆轨道的直径DC垂直于BC，斜轨道的倾角θ=37°，圆形轨道的半径为R．一质量为m的小滑块（可看作质点）从高为H的斜轨道上的P点由静止开始下滑，然后从直轨道进入圆形轨道运动，运动到圆形轨道的最高点D时对轨道的压力大小恰与重力相等，小滑块过最高点D后做平抛运动，恰好垂直撞击在斜轨道的Q点．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度为g，求：
（1）滑块运动到圆形轨道最高点时的速度大小．
（2）滑块与斜轨道间的动摩擦因数μ．
（3）水平轨道BC的长度．

Answer 1

分析 （1）D点由向心力公式可得速度大小．
 （2）由动能定理可求得摩擦力做功，其中摩擦力做功含有摩擦因数．
 （3）由平抛运动可得水平向与竖直向的位移，结合图中的几何关系可求得距离．

解答 解：（1）在D点：2mg=$m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$ 则${v}_{D}=\sqrt{2gR}$
 （2）由P到D，由动能定理：$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}=mg（H-2R）-μmgcosθ$ x_AB   
而${x}_{AB}=\frac{H}{sinθ}$   解得：$μ=\frac{3（H-3R）}{4H}$
（3）在Q点的水平速度v_Q平=v_D=$\sqrt{2gR}$
    由垂直撞击可知滑块运动到Q时的竖直分速度为：${v}_{Qy}=\frac{4{v}_{Q平}}{3}=\frac{4\sqrt{2gR}}{3}$
   由此可得平抛运动的时间为：t=$\frac{{v}_{Qy}}{g}$=$\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2R}{g}}$
   平抛运动的水平位移为：${x}_{QF}={v}_{D}t=\frac{8}{3}R$
   平抛运动的竖直分位移为：y_DF=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=$\frac{16R}{9}$
   Q点的高度：h_QE=2R-y_DF=$\frac{2R}{9}$
   则水平轨道BC的长度：L=${x}_{QF}-\frac{{h}_{QE}}{tan37°}$=$\frac{64}{27}R$
答：（1）滑块运动到圆形轨道最高点时的速度大小为$\sqrt{2gR}$．
（2）滑块与斜轨道间的动摩擦因数为$\frac{3（H-3R）}{4H}$．
（3）水平轨道BC的长度为$\frac{64}{27}R$

点评 本题考查动能定理及竖直面内的圆周运动，选择合适的过程，并注意竖直面内圆周运动的临界条件即可求解