Question

3．如图所示，一条带有圆轨道的长轨道水平固定，圆轨道竖直，底端分别与两侧的直轨道相切，半径R=0.5m，物块A以V₀=6m/s的速度滑入圆轨道，滑过最高点Q，再沿圆轨道滑出后，与直轨上P处静止的物块B碰撞，碰后粘在一起运动．P点左侧轨道光滑，右侧轨道呈粗糙段，光滑段交替排列，每段长度都为L=0.1m．物块与各粗糙段间的动摩擦因数都为μ=0.1，A、B的质量均为m=1kg（重力加速度g取10m/s²；A、B视为质点，碰撞时间极短）．

（1）求A滑过Q点时的速度大小V和受到的弹力大小F；
（2）若碰后AB最终停止在第k个粗糙段上，求k的数值；
（3）求碰后AB滑至第n个（n＜k）光滑段上的速度V_AB与n的关系式．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律可求得A滑过Q点的速度，由向心力公式可求得弹力大小；
（2）由机械能守恒定律可求得AB碰撞前A的速度，再对碰撞过程由动量守恒定律可求得碰后的速度；则可求得总动能，再由摩擦力做功求出每段上消耗的机械能；即可求得比值；
（3）设总共经历了n段，根据每一段上消耗的能量，由能量守恒可求得表达式．

解答 解：（1）由机械能守恒定律可得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=mg（2R）+$\frac{1}{2}$mv²；
解得：v=4m/s；
由F+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$可得：
F=22N；
（2）AB碰撞前A的速度为v_A，由机械能守恒定律可得：
$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_A²
得v_A=v₀=6m/s；
AB碰撞后以共同速度v_P前进，设向右为正方向，由动量守恒定律可得：
mv₀=（m+m）v_p
解得：v_P=3m/s；
故总动能E_K=$\frac{1}{2}$（m+m）v_P²=$\frac{1}{2}$×2×9=9J；
滑块每经过一段粗糙段损失的机械能△E_K=fL=μ（m+m）gL=0.1×20×0.1=0.2J；
k=$\frac{{E}_{k}}{△E}$=$\frac{9}{0.2}$=45；
（3）AB整体滑到第n个光滑段上损失的能量；
E_损=nE=0.2nJ
从AB碰撞后运动到第n个光滑段的过程中，由能量守恒定律可得：
$\frac{1}{2}$（m+m）v_P²-$\frac{1}{2}$（m+m）v_AB²=n△E，
代入解得：v_AB=$\sqrt{9-0.2n}$m/s；
答：1）A滑过Q点时的速度大小V为4m/s；受到的弹力大小F为22N；
（2）k的数值为45；
（3）碰后AB滑至第n个（n＜k）光滑段上的速度V_AB与n的关系式为v_AB=$\sqrt{9-0.2n}$m/s；

点评 本题考查动量守恒定律、机械能守恒定律及向心力等内容，要求我们能正确分析物理过程，做好受力分析及能量分析；要注意能量的转化与守恒的灵活应用．