Question

5．如图所示，足够长的光滑金属导轨与水平面的夹角为θ，两导轨间距为L，在导轨上端接入电源和滑动变阻器，电源电动势为E，内阻为r．一质量为m的导体棒ab与两导轨垂直并接触良好，整个装置处于磁感应强度为B，垂直于斜面向上的匀强磁场中，导轨与导体棒的电阻不计．
（1）若要使导体棒ab静止于导轨上，求滑动变阻器的阻值应取何值；
（2）若将滑动变阻器的阻值取为零，由静止释放导体棒ab，求释放瞬间导体棒ab的加速度；
（3）求第（2）问所示情况中导体棒ab所能达到的最大速度的大小．

Answer 1

分析 （1）导体棒静止于导轨上，受重力、支持力和安培力处于平衡，根据安培力大小公式、闭合电路欧姆定律，结合共点力平衡求出滑动变阻器的阻值．
（2）根据闭合电路欧姆定律求出电流的大小，从而得出导体棒所受的安培力，根据牛顿第二定律求出释放导体棒ab的加速度．
（3）当重力下滑分力与安培力相等时，导体棒ab达到最大速度，根据平衡求出最大速度．

解答 解：（1）若要使导体棒ab静止于导轨上，则要求导体棒ab所受的重力、支持力、安培力三力平衡，导体棒在沿斜面方向的受力满足：mgsinθ=F_安，
其中F_安=BIL，
设导体棒ab静止时变阻器的阻值为R，由闭合电路欧姆定律有：$I=\frac{E}{R+r}$，
解得R=$\frac{BEL}{mgsinθ}-r$．
（2）当变阻器的阻值为零时，回路中的电流大于使导体棒ab静止时的电流，安培力大于使导体棒ab静止时的安培力，因此，由静止开始释放的瞬间，导体棒的加速度方向沿斜面向上．
由牛顿第二定律：F_安-mgsinθ=ma，
其中F_安=BIL，
由闭合电路欧姆定律：I=$\frac{E}{r}$，
解得释放瞬间导体棒ab的加速度a=$\frac{ELB}{mr}-gsinθ$．
（3）当重力下滑分力与安培力相等时，导体棒ab达到最大速度v_m，
即当mgsinθ=BIL时，达到最大速度．
此时导体棒中由于切割产生的E=BLv_m，
由闭合电路欧姆定律，此时回路中的电流I=$\frac{E-BL{v}_{m}}{r}$．
解得${v}_{m}=\frac{EBL-mgrsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
答：（1）滑动变阻器的阻值应取$\frac{BEL}{mgsinθ}-r$；
（2）释放瞬间导体棒ab的加速度为$\frac{ELB}{mr}-gsinθ$；
（3）导体棒ab所能达到的最大速度的大小为$\frac{EBL-mgrsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 本题是金属棒平衡问题和动力学问题，关键分析受力情况，特别是分析和计算安培力的大小．难度中等．