Question

6．如图所示，天文学家观测哈雷慧星的周期是75年，离太阳最近的距离是8.9×10¹⁰m，它离太阳的最远距离不能被测出．若太阳的质量M=2.0×10³⁰kg，试计算哈雷慧星的最小加速度与最大加速度的比值．（太阳系中，$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k的k可取3.354×10¹⁸m³/s²）

Answer 1

分析 比较地球与彗星，由开普勒第三定律$\frac{a^3}{T^2}=k$求得半长轴，而半长轴的二倍等于最远距离加最近距离，可求得最远距离；最后根据牛顿第二定律和万有引力定律得到哈雷慧星的最小加速度与最大加速度的比值．

解答 解：设彗星离太阳的最近距离为l₁，最远距离为l₂，则轨道半长轴为：
$a=\frac{{{l_1}+{l_2}}}{2}$-----①
根据开普勒第三定律有：
$\frac{a^3}{T^2}=k$------②
则由①②求得：②彗星离太阳最远的距离是：${l_2}=\root{3}{{8K{T_2}}}-{l_1}$；
代入数据得：${l_2}=5.225×1{0^{12}}m$；
万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$
解得：a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$∝$\frac{1}{{r}^{2}}$
故最小加速度与最大加速度的比值：
$\frac{{a}_{小}}{{a}_{大}}$=$\frac{{l}_{1}^{2}}{{l}_{2}^{2}}$=$（\frac{8.9×1{0}^{10}}{5.225×1{0}^{12}}）^{2}$=2.9×10^-4
答：哈雷慧星的最小加速度与最大加速度的比值为2.9×10^-4．

点评 本题涉及椭圆轨道，要采用开普勒定律分析，同时要结合牛顿第二定律判断加速度情况，不难．