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3．据上海消息：今年3月我国启动了“探月计划”，预计在3年后发射探月卫星．在探月计划中需要解决的一个关键问题是：“如何让探测卫星进入月球轨道”．为此，上海航天局提出了“采取多级推进的方式将探测卫星送入月球轨道的方案”，按此方案，卫星先被送入一个地球同步椭圆轨道A，这一轨道A离地面最近距离为500公里，最远为7万公里，探月卫星将用26小时环绕此轨道一圈；然后通过获取能量，卫星再进入一个更大的椭圆轨道B，其距离地面最近距离为500公里，最远为12万公里．此后，探测卫星不断获得能量，最后直接“奔向”月球，快到月球时，依靠控制火箭的反向助推减速，被月球引力圈“俘获”，成为环月球卫星，在离月球表面200公里高度的月球极地轨道C上飞行，为在月球上着陆作准备．
已知月球质量m与地球质量M的比值为$\frac{m}{M}=\frac{1}{81}$，月球半径r与地球半径R之比为$\frac{r}{R}$=0.273，地球半径R为6371km．试根据上述文字完成下列二个问题：
（1）探月卫星在地球同步椭圆轨道A和B上飞行时的周期之比；（取一位有效数字）
（2）探月卫星在环月球轨道C上飞行的周期．

分析 （1）根据开普勒第三定律即可求出轨道A和B上飞行时的周期之比；
（2）由万有引力提供向心力的周期公式，可以得到周期的数值．

解答 解：（1）根据开普勒第三定律：$\frac{{R}_{A}^{3}}{{T}_{A}^{2}}=\frac{{R}_{B}^{3}}{{T}_{B}^{2}}$
所以：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}=\sqrt{（\frac{{R}_{A}}{{R}_{B}}）^{3}}$=$\sqrt{（\frac{\frac{6371+500+6371+70000}{2}}{\frac{6371+500+6371+120000}{2}}）^{3}}$≈0.5
（2）卫星对卫星，由万有引力提供向心力，在A轨道：
$\frac{GM{m}_{0}}{{R}_{A}^{2}}={m}_{0}•（\frac{2π}{{T}_{A}}）^{2}•{R}_{A}$…①
卫星在C轨道上运动时：
$\frac{Gm{m}_{0}}{{r}^{2}}={m}_{0}•{（\frac{2π}{{T}_{C}}）}^{2}•r$…②
联立①②得：$\frac{{T}_{C}^{2}}{{T}_{A}^{2}}=\frac{M}{m}•\frac{{r}^{3}}{{R}_{A}^{3}}$
又：r=0.273R=0.273×6731=1838km
${R}_{A}=\frac{6371+500+6371+70000}{2}=41621$km
代入数据得：TC=2.17h=7815s
答：（1）探月卫星在地球同步椭圆轨道A和B上飞行时的周期之比是0.5；
（2）探月卫星在环月球轨道C上飞行的周期是7815s．

点评 对于卫星类型，关键分析向心力的来源，运用万有引力定律、牛顿第二定律和圆周运动的规律列式进行分析即可．

练习册系列答案
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