Question

4．如图所示，足够长的光滑U形导轨宽度为L，其所在平面与水平面的夹角为α，上端连接一个阻值为R的电阻．匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面向上．今有一质量为m、有效电阻r的金属杆沿框架由静止下滑，设磁场区域无限大，当金属杆下滑达到最大速度v_m时，运动的位移为x，求
（1）金属杆沿斜面下滑的最大速度？
（2）在此过程中电阻R产生的焦耳热为多少？
（3）在此过程中流过电阻R的电荷量q为多少？

Answer 1

分析 （1）金属杆下滑达到最大速度v₀时做匀速直线运动，根据安培力与速度的关系式和平衡条件求解最大速度．
（2）根据能量守恒定律求解焦耳热；
（3）根据q=$\frac{△∅}{R}$求解电量；

解答 解：（1）金属杆下滑达到最大速度v_m时做匀速直线运动，则有：mgsinα=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R+r}$，
得：v_m=$\frac{mg（R+r）sinα}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）根据能量守恒定律得：在此过程中回路中产生的总热量为：Q=mgxsinα-$\frac{1}{2}$mv_m²，
电阻R产生的焦耳热为：Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{R}{R+r}$（mgxsinα-$\frac{1}{2}$mv_m²）．
（3）在此过程中流过电阻R的电荷量为：q=It=$\frac{BLv}{R+r}t$=$\frac{△∅}{R+r}=\frac{BLx}{R+r}$．
答：（1）金属杆沿斜面下滑的最大速度为$\frac{mg（R+r）sinα}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）在此过程中电阻R产生的焦耳热为$\frac{R}{R+r}$（mgxsinα-$\frac{1}{2}$mv_m²）；
（3）在此过程中流过电阻R的电荷量q为$\frac{BLx}{R+r}$．

点评 该题是电磁感应定律的综合应用，涉及的公式与知识点较多．其中通过金属棒横截面的电量q=$\frac{△∅}{R+r}$，R+r应是回路的总电阻．