Question

7．如图，整个空间存在匀强磁场，磁感应强度方向竖直向下，水平面上O处固定一电荷量为Q（Q＞0）的小球a，另一个电荷量为q（q＞0）、质量为m的小球b在其上方某个水平面内做匀速圆周运动，圆心为O′．a、b间的距离为R．为了使小球能够在该圆周上运动，求磁感应强度的最小值及小球b相应的速率（静电力常量为k）．

Answer 1

分析 球b在水平面上做的匀速圆周运动，需要正确地对其进行受力分析并结合向心力的公式，求出相应的结果．

解答 解：据题意，小球P在水平面做匀速圆周运动，该圆周的圆心为O′．P受到向下的重力mg、a对它沿ab方向的库仑力N和磁场的洛仑兹力：f=qvB…①
式中v为小球运动的速率．洛仑兹力f的方向指向O′．
根据牛顿第二定律：$\frac{kQq}{{R}^{2}}$cosα-mg=0…②
f-$\frac{kQq}{{R}^{2}}$sinα=m$\frac{{v}^{2}}{Rsinα}$…③
由①②③式得：v²-$\frac{qBRsinα}{m}$v+$\frac{gRsi{n}^{2}α}{cosα}$=0…④
由于v是实数，必须满足：△=（$\frac{qBRsinα}{m}$）²-$\frac{4gRsi{n}^{2}α}{cosα}$≥0…⑤
由此得：B≥$\frac{2m}{q}\sqrt{\frac{g}{Rcosα}}$…⑥
可见，为了使小球能够在该圆周上运动，磁感应强度大小的最小值为：B_min=$\frac{2m}{q}\sqrt{\frac{g}{Rcosα}}$ …⑦
此时，带电小球做匀速圆周运动的速率为：v=$\frac{q{B}_{min}Rsinα}{2m}$…⑧
由⑦⑧式得：v=$\sqrt{\frac{gR}{cosα}}$sinα
答：磁感应强度大小的最小值$\frac{2m}{q}\sqrt{\frac{g}{Rcosα}}$，小球P相应的速率$\sqrt{\frac{gR}{cosα}}$sinα．

点评 考查牛顿第二定律的应用，掌握确定向心力的来源是解题的关键，同时注意正确地进行受力分析是重点，及结合数学知识的运用．