Question

3．如图所示，长s=2.25m的粗糙水平面MN右端N处与水平传送带恰好平齐且很靠近，传送带以速率v=1m/s逆时针匀速转动，水平部分长度L=1m．水平面MN左端与一光滑的半径为R=1.25m的$\frac{1}{4}$圆弧轨道在M处平滑连接，物块B静止在水平面的最右端N处，质量为m_A=1kg的物块在与圆心等高处由静止下滑，滑过MN段后与B发生碰撞并粘在一起，若B的质量是A的k倍，A、B与水平面和传送带的动摩擦因数都为μ=0.2，物块均可视为质点，取g=10m/s²．
（1）求A到达N点与B碰撞前的速度大小；
（2）求碰撞后瞬间A与B的速度大小；
（3）讨论K在不同数值范围时，A、B碰撞后传送带对它们所做的功W的表达式．

Answer 1

分析 （1）由动能定理可以求出A到达N时的速度．
（2）A、B碰撞过程系统动量守恒，应用动量守恒定律可以求出速度．
（3）应用动能定理可以求出表达式．

解答 解：（1）A从静止运动到N点过程，由动能定理得：
m_AgR-μm_Ags=$\frac{1}{2}$m_Av₁²-0，代入数据解得：v₁=4m/s；
（2）设碰撞后A、B速度为υ₂，以向右为正方向，A与B发生碰撞并粘在一起，
由动量守恒定律得：m_Aυ₁=（m_A+m_B）υ₂，代入数据解得：v₂=$\frac{4}{k+1}$m/s；
（3）①如果AB能从传送带右端离开，必须满足：
$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v₂²＞μ（m_A+m_B）gL，解得：k＜1，
传送带对它们所做的功为：W=-μ（m_A+m_B）gL=-2（k+1），
②当υ₂≤υ时有：k≥3
即AB返回到传送带左端时速度仍为υ₂
故这个过程传送带对AB所做的功为：W=0     
③当1≤k＜3时，AB沿传送带向右减速到速度为零，再向左加速，
当速度与传送带速度相等时与传送带一起匀速运动到传送带的左端，
在这个过程中传送带对AB所做的功为：W=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v²-$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v₂²，
解得：W=$\frac{{k}^{2}+2k-15}{2（k+1）}$；
答：（1）A到达N点与B碰撞前的速度大小是4m/；
（2）碰撞后瞬间A与B的速度大小是$\frac{4}{k+1}$m/s；
（3）①当k＜1，W=-μ（m_A+m_B）gL=-2（k+1）．②当k≥3，W=0；③当1≤k＜3时，$\frac{{k}^{2}+2k-15}{2（k+1）}$．

点评 本题考查了求物体的速度、求功，该题难度较大，是一道难题，分析清楚物体运动过程，应用动能定理、动量守恒定律即可正确解题，解题时要正确分析题目当中的临界条件．