Question

10．如图轨道ABCD平滑连接，其中AB为光滑的曲面，BC为粗糙水平面且摩擦因数为μ，CD为半径为r内壁光滑四分之一圆管，管口D正下方直立一根劲度系数为k的轻弹簧（下端固定，上端恰好与D端齐平）．质量为m的小球在曲面上距BC高为3r的地方由静止下滑，进入管口C端时与圆管恰好无压力作用，通过CD后压缩弹簧，压缩过程中速度最大时弹簧弹性势能为E_p．
求：（1）水平面BC的长度s；
（2）小球向下压缩弹簧过程中的最大动能E_Km．

Answer 1

分析 （1）小球进入管口C端时与圆管恰好无压力作用，由重力提供向心力，由牛顿第二定律可求出小球到达C点的速度．小球从A运动到C点的过程中，由动能定理可求出水平面BC的长度S；
（2）小球压缩弹簧时，当小球的重力和弹力平衡时速度最大，由此列式，求出此时弹簧的压缩量．设最大速度的位置为零势能面，根据小球和弹簧构成的系统机械能守恒求最大动能E_Km．

解答 解：（1）由题知，小球在C点对轨道没有压力，对小球，由牛顿第二定律得：

 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$
小球从A运动到C点的过程中，由动能定理：
  mg•3r-μmgs=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得 s=$\frac{5r}{2μ}$
（2）小球压缩弹簧时，最大速度时，小球加速度为0，设弹簧压缩量为x．则
  kx=mg
得：x=$\frac{mg}{k}$
由C点到最大速度时，小球和弹簧构成的系统机械能守恒：
设最大速度的位置为零势能面，有：
  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+mg（r+x）=E_Km+E_p；
解得 E_Km=$\frac{3}{2}$mgr+$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{k}$-E_p．
答：
（1）水平面BC的长度s为$\frac{5r}{2μ}$；
（2）小球向下压缩弹簧过程中的最大动能E_Km为$\frac{3}{2}$mgr+$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{k}$-E_p．

点评 本题分析清楚物块的运动过程，把握两个临界状态是关键：一是小球通过C点的状态，由重力充当向心力．二是小球速度最大时，重力与弹力平衡．