Question

15．质量为m=4.0kg的小铁滑块（可视为质点）放在质量为M=1.0kg的长木板的右端，滑块木板间动摩擦因数为μ₁=0.1，木板与地面之间的动摩擦因数为μ₂=0.2，开始时两者都处于静止状态，现对木板施加水平向右的恒力F=20N，作用时间持续1秒后撤去．如图所示，为使小滑块不掉下木板，试求：（g取10m/s²）
（1）木板至少多长？
（2）全程中滑块与木板间产生热量为多少？

Answer 1

分析 （1）滑块和木板均从静止做匀加速运动，由牛顿第二定律求出各自的加速度，由位移公式求位移和相对位移，再求出撤去拉力瞬间的速度比较得其运动性质，滑块仍然以a₁向右加速，木板向右减速，直到两者速度相等，此后两者一起减速到停止，无相对滑动．求出此时的木板加速度，最后求相对位移．
（2）由功能关系可求全程中滑块与木板间产生热量．

解答 解：（1）对滑块分析，设滑块的加速度为a₁，由牛顿第二定律可得：a₁=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=1m/s²．
对木板分析，设木板的加速度为a₂，由牛顿第二定律可得：a₂=$\frac{F-{μ}_{2}（M+m）g}{M}$=10m/s²．
经过时间1s，滑块的位移为：x₁=$\frac{1}{2}$a₁t²=$\frac{1}{2}$×1×1²=$\frac{1}{2}$m，滑块的速度为：v₁=a₁t=1×1=1m/s．
木板的位移为：x₂=$\frac{1}{2}$a₂t²=$\frac{1}{2}$×10×1²=5m，
滑块的速度为：v₂=a₂t=10×1=10m/s．
相对位移为：△x₁=x₂-x₁=5-1=4m
撤去拉力后，因为木板的速度大于滑块的速度，滑块仍然以a₁向右加速，木板向右减速，直到两者速度相等，此后两者一起减速到停止，无相对滑动．
木板的加速度为：a₃=$\frac{{μ}_{1}mg+{μ}_{2}（m+M）g}{M}$=14m/s²
由速度关系：v₁+a₁t=v₂-a₃t
解得：t=0.6s
滑块的位移为：x₃=v₁t+$\frac{1}{2}$a₁t²=1×0.6+$\frac{1}{2}$×1×0.6²=0.78m
木板的位移为：x₄=v₂t-$\frac{1}{2}$a₃t²=10×0.6-$\frac{1}{2}$×14×0.6²=3.48m
相对位移为：△x₂=x₄-x₃=3.48-0.78=2.7m
L_min=△x₁+△x₂=4+2.7=6.7m
（2）全过程滑块与木板间产生热量为：Q=μ₁mg（△x₁+△x₂）=0.1×4×10×6.7=26.8J．
答：（1）木板至少长6.7m；
（2）全程中滑块与木板间产生热量为26.8J．

点评 解决本题的关键理清木块和木板的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁．