Question

14．如图所示，是一儿童游戏机的简化示意图．光滑游戏面板与水平面成一夹角θ，半径为R的四分之一圆弧轨道BC与长度为8R的AB直管道相切于B点，C点为圆弧轨道最高点（切线水平），管道底端A位于斜面底端，轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P．经过观察发现：轻弹簧无弹珠时，其上端离B点距离为5R，将一质量为m的弹珠Q投入AB管内，设法使其自由静止，测得此时弹簧弹性势能E_p=$\frac{1}{20}$mgRsinθ．已知弹簧劲度系数k=$\frac{10mgsinθ}{R}$．某次缓慢下拉手柄P使弹簧压缩，后释放手柄，弹珠Q经C点被射出，假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠可视为质点，直管AB粗细不计．求：
（1）调整手柄P的下拉距离，可以使弹珠Q经BC轨道上的C点射出，落在斜面底边上的不同位置，其中与A的最近距离是多少？
（2）若弹珠Q落在斜面底边上离A的距离为10R，求它在这次运动中经过C点时对轨道的压力为多大？
（3）在（2）的运动过程中，弹珠Q离开弹簧前的最大速度是多少？

Answer 1

分析 （1）当P离A点最近（设最近距离为d）时，弹珠经C点速度最小，弹珠经过C点时恰好对规定无压力，根据牛顿第二定律以及运动学基本公式求解；
（2）设击中P₁点的弹珠再经过C点时的速度为v_C，离开C点后弹珠做类平抛运动，根据平抛运动基本公式求解；
（3）弹珠离开弹簧前，在平衡位置时，速度最大，根据平衡条件结合机械能守恒定律列式求解．

解答 解：（1）当P离A点最近（设最近距离为d）时，弹珠经C点速度最小，设这一速度为v₀，弹珠经过C点时恰好对规定无压力，则有：
$mgsinθ=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{0}=\sqrt{gRsinθ}$，
$8R+R=\frac{1}{2}g{t}^{2}sinθ$，
解得：t=$\sqrt{\frac{18R}{gsinθ}}$，
x=${v}_{0}t=\sqrt{18{R}^{2}}$=$3\sqrt{2}R$
d=$3\sqrt{2}R+R$
（2）设击中P₁点的弹珠再经过C点时的速度为v_C，离开C点后弹珠做类平抛运动，则有：
a=gsinθ，
10R-R=v_Ct，
又t=$\sqrt{\frac{18R}{gsinθ}}$，
解得：${v}_{C}=\sqrt{\frac{9}{2}gRsinθ}$，
经C点时，根据牛顿第二定律得：${F}_{N}+mgsinθ=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，解得：${F}_{N}=\frac{7}{2}mgsinθ$，
根据牛顿第三定律可知，弹珠Q对C点的压力N与F_N大小相等，方向相反，
所以弹珠Q对C点的压力N=$\frac{7}{2}mgsinθ$，
（3）弹珠离开弹簧前，在平衡位置时，速度最大，
设此时弹簧压缩量为x₀，根据平衡条件得：mgsinθ=kx₀，则${x}_{0}=\frac{R}{10}$，
取弹珠从平衡位置到C点的运动过程为研究过程，根据系统机械能守恒，取平衡位置重力势能为零，则有：
${E}_{P}+\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}=mg（6R+\frac{1}{10}R）sinθ+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
解得：${v}_{m}=\sqrt{\frac{83}{5}gRsinθ}$
答：（1）调整手柄P的下拉距离，可以使弹珠Q经BC轨道上的C点射出，落在斜面底边上的不同位置，其中与A的最近距离是$3\sqrt{2}R+R$；
（2）若弹珠Q落在斜面底边上离A的距离为10R，它在这次运动中经过C点时对轨道的压力为$\frac{7}{2}mgsinθ$；
（3）在（2）的运动过程中，弹珠Q离开弹簧前的最大速度是$\sqrt{\frac{83}{5}gRsinθ}$．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律、平抛运动基本公式以及机械能守恒定律的直接应用，要求同学们能正确分析物体的受力情况和运动情况，知道弹珠离开弹簧前，在平衡位置时，速度最大，难度较大．