Question

15．如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L．已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G．
（1）求两星球做圆周运动的周期
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期为T₁．但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T₂．已知地球和月球的质量分别设为M和m．求T₂与T₁两者之比．

Answer 1

分析 这是一个双星的问题，A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，A和B有相同的角速度和周期，结合牛顿第二定律和万有引力定律解决问题．

解答 解：（1）A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力大小相等，且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期，因此有：$m{ω}_{\;}^{2}r=M{ω}_{\;}^{2}R$，r+R=L
联立解得：$R=\frac{m}{m+M}L$   或  $r=\frac{M}{m+M}L$  
对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：G$\frac{Mm}{{L}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$ 
化简得：$T=2π\sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{G（M+m）}}$    
（2）将地月看成双星，由（1）得：${T}_{1}^{\;}=2π\sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{G（M+m）}}$
将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得：$G\frac{Mm}{{L}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}L$
化简得：${T}_{2}^{\;}=2π\sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{GM}}$
所以两种周期的平方比值为：$\frac{{T}_{2}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\sqrt{\frac{M+m}{M}}$    
答：（1）求两星球做圆周运动的周期$2π\sqrt{\frac{{L}_{\;}^{3}}{G（M+m）}}$
（2）T₂与T₁两者之比为$\sqrt{\frac{M+m}{M}}$

点评 对于双星问题，我们要抓住它的特点，即两星球的万有引力提供各自的向心力和两星球具有共同的周期．