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（2006?天津）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，（如图）所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v=2.7×105 m/s，运行周期T=4.7π×104s，质量m1=6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G=6.67×10-11N?m2/kg2，ms=2.0×1030 kg）
分析：（1）抓住A、B做圆周运动的向心力相等，角速度相等，求出A、B轨道半径的关系，从而得知A、B距离为A卫星的轨道半径关系，可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，根据万有引力定律公式求出质量m′．
（2）根据万有引力提供向心力求出暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）根据第（2）问的表达式求出暗星B的质量，与太阳的质量进行比较，判断是否是黑洞．
解答：解：（1）设A、B圆轨道的半径分别为r1、r2，由题意知，A、B的角速度相等，为ω0，
有：FA=m1r1ω02，FB=m2r2ω02，又FA=FB．
设A、B之间的距离为r，又r=r1+r2．
由以上各式得，r=
m1+m2
m2
r1   ①
由万有引力定律得，FA=
Gm1m2
r2
．
将①代入得，FA=G
m1m23
(m1+m2)2r2

令FA=G
m1m′
r12
，比较可得m′=
m23
(m1+m2)2
．②
（2）由牛顿第二定律有：G
m1m′
r12
=m1
v2
r1
，③
又可见星的轨道半径r1=
vT
2π
④
由②③④得，
m23
(m1+m2)2
=
v3T
2πG
．
（3）将m1=6ms代入
m23
(m1+m2)2
=
v3T
2πG
得，
m23
(6ms+m2)2
=
v3T
2πG
  ⑤
代入数据得，
m23
(6ms+m2)2
=3.5ms．⑥
设m2=nms，（n＞0）将其代入⑥式得，
m23
(m1+m2)2
=
n
(
6
n
+1)2
ms=3.5ms．⑦
可见，
m23
(6ms+m2)2
的值随n的增大而增大，令n=2时，得
n
(
6
n
+1)2
ms=0.125ms＜3.5ms⑧
要使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m2必须大于2m1，由此得出结论，暗星B有可能是黑洞．
答：（1）m′=
m23
(m1+m2)2
．
（2）暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式为
m23
(m1+m2)2
=
v3T
2πG
．
（3）暗星B有可能是黑洞．
点评：本题是双子星问题，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解．
练习册系列答案
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神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，如图所示，它由可见星A和不可见的暗星B构成.两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变.引力常量为G，由观测能够得到可见星 A的速率 v和运行周期 T.

(1)可见星A所受暗星 B的引力 FA 可等效为位于 O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为 m1、m2，试求m′. (用m1、m2 表示)

(2)求暗星B的质量m2 与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1 之间的关系式.

(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms 的2倍，它将有可能成为黑洞.若可见星A的速率v＝2.7×105 m/s，运行周期T＝4.7π×104 s，质量m1＝6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？ (G＝6.67×10－11  N·m2/kg2，ms＝2.0×1030 kg)[2006年高考·天津理综卷]

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