Question

12．如图所示，足够大的荧光屏ON垂直于直角坐标平面xOy，且与x轴夹角为37°，当y轴与ON间有沿y轴正方向、场强为E的匀强电场时，一质量为m、电荷量为q的负离子从y轴上的P点，以速度v₀、沿x轴的正方向射入电场，离子垂直打到荧光屏上的某点；现撤去电场，在y轴与ON间加上垂直坐标平面向里的匀强磁场，相同的离子仍以速度v₀从y轴上的Q点也沿x轴的正方向射入磁场，离子恰好也垂直打到荧光屏上的同一点，离子的重力不计．试求：
（1）离子在电场中运动的时间t₁；
（2）P点的纵坐标y₁和离子在磁场中运动的加速度大小a；
（3）若相同的离子分别从y轴上的不同位置以速度v=ky（y＞0，k为常数），沿x轴的正方向射入磁场，要使离子都打到荧光屏上，k应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）离子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出离子的运动时间．
（2）作出离子运动轨迹，根据几何知识求出距离，由牛顿第二定律求出加速度．
（3）作出离子运动轨迹，应用牛顿第二定律求出离子的临界轨道半径，然后分析答题．

解答 解：（1）设离子垂直打到荧光屏上的M点时，沿y方向的分速度大小为v_y，在电场中运动的加速度为a₁，
则：${v}_{y}=\frac{{v}_{0}}{tan3{7}^{o}}$，
由牛顿第二定律得：qE=ma₁，
竖直分速度：v_y=a₁t₁，
解得：${t}_{1}=\frac{4m{v}_{0}}{qE}$；

（2）由几何关系可知：${y}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}+{v}_{0}{t}_{1}tan3{7}^{o}$，
解得：${y}_{1}=\frac{17m{v}_{0}^{2}}{9qE}$，
设离子在磁场中做圆周运动半径为y₂，则：${y}_{2}cos3{7}^{o}={v}_{0}{t}_{1}$，
而：$a=\frac{v_0^2}{y_2}$，
解得：$a=\frac{3qE}{5m}$；
（3）如图所示，设从纵坐标为y处射入磁场的离子，
恰好能打到荧光屏上，对应的圆周运动半径为r₀，

由几何知识得：
${r}_{0}+\frac{{r}_{0}}{cos3{7}^{o}}=y$
此离子进入磁场时的速度v=ky，设运动半径为r，
由牛顿第二定律得：$qBv=m\frac{v^2}{r}$，
为使离子能打到荧光屏上应满足：r≥r₀，
由牛顿第二定律得：qBv₀=ma，
解得：$k≥\frac{4qE}{15m{v}_{0}}$ 
答：（1）离子在电场中运动的时间t₁为$\frac{4m{v}_{0}}{qE}$；
（2）P点距O点的距离y₁为$\frac{17m{v}_{0}^{2}}{9qE}$，离子在磁场中运动的加速度大小a为$\frac{3qE}{5m}$；
（3）k应满足的条件是$k≥\frac{4qE}{15m{v}_{0}}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚离子运动过程，作出粒子运动轨迹，应用类平抛运动规律、牛顿第二定律即可正确解题，解题时要注意几何知识的应用．